DÉMONSTRATION ANALYTIQUE DE LA FORMULE FONDAMENTALE. 153
pelit chemin (positif ou négatif) du, et en décrivant ainsi un
prisme élémentaire généralement oblicpie, à base dy. Le travail
correspondant est donc-—p d'y dn, produit où d<r dn exprime
justement le petit espace prismatique envahi par l’élément dy de
surface. Dès lors, le travail total d<s> sera la somme —p'Zdydn,
ou le produit de —p par l’accroissement total, positif ou négatif,
qu’aura gagné sur l'espace extérieur le volume to de la particule
fluide considérée. Et l’on aura
(■>•)
¿¿S — — p dus (pour une particule fluide).
des trois composantes Xp dus, Yp dus, Zp dus du poids de chaque élément p dus de
masse compris dans le volume matériel us, composantes que nous appellerons X,
Y, Z par unité de masse, il viendra la somme
(d')
dt
d\.
dx
clT z
dy * d
dus:
et les trois équations, bien connues, du mouvement visible des milieux matériels,
fournies par l’application du principe des quantités de mouvement, suivant les
trois axes, à chaque particule p dus, permettront de la remplacer par la somme
{d')
dt
rp ( au' H- vv' -+- (vw' ) dus,
où u', v', w' désignent les trois accélérations du mouvement visible, c’est-à-dire la
dérivée en t des trois vitesses u, c, w de la particule. Or cette somme n’est,
évidemment, autre chose que l’accroissement élémentaire de la demi-force vive
r
dus
( u-
n’ 2 )
du volume matériel us dans son mouvement visible, c’est-à-dire, précisément, le
terme qui, avec M dU, constitue le premier membre de l’équation des forces
vives.
Ainsi l’analyse fournit d’une manière très naturelle la réduction qui, effectuée
intuitivement, nous a permis d’éliminer du premier membre de l’équation des
forces vives l’énergie actuelle du mouvement visible, en bornant le second
membre au travail des pressions uniformisées et aux flux de chaleur.