292 PINCEAU DE LUM. PARALLÈLE, A UNE PREMIÈRE APPROXIMATION t 
L’égalité de cette quatrième valeur à son numérateur montre que 
son dénominateur vaut l’unité. 
Donc, les trois relations (24) reviennent à poser : i° d’une part, 
pour déterminer la vitesse co de propagation des ondes planes suivant 
leur normale, quand la direction de celle-ci est définie par ses 
angles a, y avec les axes, l’équation 
a 2 cos 2 a b- cos 2 [3 c 2 cos 2 y 
(27) 
2 0 d’autre part, pour déterminer ensuite la direction (/', m', n') des 
vibrations, c’est-à-dire les rapports mutuels des cosinus directeurs 1', 
m', n', la double proportion 
V 
m 
6 2 cos[3 
n 
(28) 
c 2 cosy 
to 2 — c 2 
a 2 cosa 
Remplaçons, dans (27), le quatrième terme, 1, par le trinôme 
cos 2 a -(- cos 2 p -t- cos 2 y ; puis réduisons chaque terme de ce trinôme 
avec le terme correspondant du trinôme qui précède. Et supprimons 
enfin le facteur commun w 2 : ce qui revient à négliger dans l’équation 
en w 2 une racine nulle, correspondant, d’après (28), à une solution 
où U, m', /1' seraient entre eux comme cosa, cos¡3, cosy, c’est-à-dire 
à des vibrations normales aux ondes, ou longitudinales. L’équation 
en co 2 sera, dès lors, celle qu’a obtenue Fresnel, 
et qui, pour chaque direction de la normale aux ondes planes, four 
nit, comme on sait, deux racines œ 2 positives. 
Seulement, Fresnel a admis, pour la direction (/', m', n 1 ) des 
vibrations, non pas celle que définissent les trois rapports égaux (28), 
mais sa projection sur le plan des ondes, laquelle aurait des cosinus 
directeurs /j, m\, n\ donnés par la double proportion 
l 
m, 
n 
(3o) 
COS P 
cosy 
cosa 
a) 2 — b 2 
En effet, une même direction (X, [a, v) dans le plan d’une onde, ou 
vérifiant la condition 
(3i) 
X cos a -t- ¡a cos ^ + v cos y = o,