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RAMENÉS A DES REFROIDISSEMENTS OU ÉCIIAUFFEMENTS PAR CONTACT. 5
tante m 0 , la
nouissement
3 fonction y
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i dans le cas
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par quelque
3tte dernière
;t la formule
de cp. L’ex-
égrales défi—
ité), dans le
que dans le
163. Premier exemple : refroidissement, par rayonnement, d’un
mur d’épaisseur indéfinie; calcul de la fonction auxiliaire cp. —
Soit d’abord un mur ayant pour face, indéfinie en longueur et
largeur, le plan des yz, et s’étendant sous une épaisseur ou pro
fondeur très grande, du côté des x positifs, avec ses tempéra
tures u fonction seulement du temps t et de la distance x à la
surface libre. On donne, à l’époque t =■ o, ses températures
u=/\x)] et celles-ci sont supposées avoir sensiblement, pour x
assez grand, une valeur u 0 constante, que l’on pourra regarder
comme se conservant, à ces grandes profondeurs x : durant un
temps illimité. Dès que t excède zéro, les espaces situés du côté
des x négatifs sont censés tenus constamment à la tempéra
ture u e —-o; et la surface x = o du mur rayonne désormais
vers ces espaces, par unité d’aire, un flux K^ égal à k(u—u e ),
ou à ku. On a donc ici u e — u — j ^ = o ; et il y a lieu de
poser
(4)
cp = u —-
i du
h dx
Cette fonction co vérifie évidemment, comme u : i° la première
d2
équation indéfinie (2), où A 2 se réduit à ; et 2 0 la condition
définie co = u 0 pour x très grand (là où u ne varie plus sensible
ment avec x et où, par suite, cp se confond avec u). Mais, de plus,
elle satisfait à la relation spéciale cp = o (pour x — o), qui est celle
que vérifierait u à la surface si le refroidissement avait lieu par
contact. Donc, le seul caractère qui distingue co, de ce que serait u
dans ce cas du refroidissement par contact, consiste en ce que
l’état initial y est, d’après (4), cp =/(#)—j t f { x )i et non
co = /(x). Par conséquent, cp prend l’expression qu’aurait w, dans
un refroidissement par conlactoùles valeurs initiales de la tempé
rature seraient celles de la fonction
(5)
F <» =/<» — ¿/'O)-
trois se rap-
deux, à des
Formons u pour un tel cas. La condition u — o sur la face x — o
se trouvera vérifiée d’elle-même, si l’on imagine un massif occu
pant tout l’espace, par l’adjonction idéale, au mur proposé, de son