420 MILIEUX ASYMÉTRIQUES : PROPRIÉTÉS DE L’ELLIPSOÏDE INVERSE ; 
La démonstration précédente montre que l’une des deux propriétés 
de l’ellipsoïde, celle de représenter les vitesses w par l’inverse de ses 
demi-diamètres, subsiste encore quand la contexture du corps consi 
déré a perdu toute symétrie. L’idée, qu’avait eue Fresnel, de faire 
dépendre uniquement de la direction de la vibration, dans chaque 
cristal, la vitesse de propagation des ondes planes, était donc non 
seulement vraie, mais plus générale qu’on ne l’aurait supposé. 
Seule, l’autre propriété, celle qui concerne l’orientation des vibra 
tions suivant les deux axes de l’ellipse d’intersection de l’ellipsoïde 
par le plan de l’onde, disparaît. Car on devra, pour avoir la direction 
approchée (l[, m\, n[) de la vibration, prendre, dans cette ellipse 
(supposée construite autour du centre de l’ellipsoïde), un des deux 
diamètres dont la moitié aura pour longueur l’inverse d’une racine w 
de l’équation (172); or la grandeur de cette racine variera avec P, 
c’est-à-dire avec les coefficients d’asymétrie d, e, f. 
multipliée par to 2 , donne, pour le lieu des points (X, Y, Z ), la surface de Fresnel 
(dite à tort surface d'élasticité) 
a 2 X 2 + è 2 Y 2 +c 2 Z 2 = (X 2 + Y 2 + Z 2 ) 2 . 
L’identité usuelle qui nous a conduit (p. 417) ® l a formule (179) prend, en y 
posant 
a = aX, ¡3=6 Y, y = cZ et a' 
la forme 
6 c 
c b 
c 
a 
= (X 2 = Y 2 +Z 2 ) 2 -f 
a c 
Comme, ici, a, 6, c diffèrent peu, les trois derniers termes sont du second ordre 
de petitesse et négligeables. Donc l’identité, divisée par a 2 X 2 + b 2 Y 2 + c 2 Z 2 , de 
vient sensiblement 
a 1 + b 2 + c 2 a 2 X 2 + 6 2 Y 2 -t- c 2 Z 
Or la surface précédente de Fresnel est, par son équation même, le lieu des 
points où notre second membre se réduit à 1. On peut donc la confondre avec 
l’ellipsoïde 
X 2 Y 2 Z 2 
—v + T? ' F “x — 1 • 
a- 6 2 c* 
C’est celui-là que Fresnel avait d’abord considéré. Il mérite de rester dans 
l’Histoire de la Science; car il a eu effectivement le rôle, qu’aurait mieux rempli 
l’ellipsoïde inverse, de moyen de généralisation ou d'instrument de découverte, 
pour passer des uniaxes aux biaxes. La notion, pourtant simple, de l’ellipsoïde 
inverse (181) n’est venue qu’un peu plus tard.