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REFROIDISSEMENT, PAR RAYONNEMENT, T)’UN MUR ÉPAIS :
symétrique relativement au plan x = o, avec attribution à ce symé
trique de températures initiales F(x) égales et contraires à celles,
F(af), du mur réel, où nous supposons l’abscisse positive x' prise
égale à —x. Alors, en effet, les changements simultanés de x en
— x et de a en —a laisseront évidemment vérifiées, tout à la fois,
l’équation indéfinie (2), la condition accessoire //. - ~+~ u 0 pour les
grandes valeurs de ± x, et la relation d’état initial u = F(æt). La
fonction u est donc identique à ce qu’elle devient quand on y
change à la fois son signe et celui de x. Autrement dit, elle est
fonction impaire de x; ce qui constitue la symétrie calorifique
inverse par rapport au plan x — o. Et la fonction u, continue (sauf
peut-être à l’instant initial), changeant de signe à la traversée du
plan x = o, s’y annulera ( 1 ).
Il suffit donc de former ¿¿, ou ©, pour un massif indéfini en tous
sens, où l’on aurait F(—x) =— F(a?). Or, alors, x variant
de — go à +cc, et F(.r) se réduisant sensiblement aux deux con
stantes ± u 0 pour les très grandes valeurs absolues de x, la for
mule de Fourier ( 2 ) permet de donner à la fonction d’état initial
F (¿u) la forme de l’intégrale définie
(6)
D’ailleurs, tous les éléments de cette intégrale, sans changer de
valeur à l’époque t = o, deviendront solutions simples de l’équa
tion indéfinie (2) du problème, par l’adjonction du facteur e - " 2 “ 2 '.
On aura donc, pour vérifier tout à la fois l’équation indéfinie et
l’état initial, la formule
cos(aÆ > — «ij)F(!) da d\.
(7)
e —n 2 a 2 i
(') Si les valeurs initiales de F(a?) étaient prises égales et de même signe de
part et d’autre du plan x — 0, ou qu’on eût F(— x) — F(ît), le simple change
ment de x en — x laisserait vérifiées les trois équations ou conditions du pro
blème; et u serait, à toute époque, fonction paire de x. Il y aurait alors symé
trie calorifique directe par rapport au plan x — o; et la dérivée s’annulerait
sur ce plan, que ne traverserait dès lors aucun flux de chaleur.
( 2 ) Voir, par exemple, mon Cours d'Analyse infinitésimale pour la Méca
nique et la Physique [Calcul intégral, Compléments, p. 169*, formule (48)].
