:pais :
on à ce symé-
■aires à celles,
sitive x' prise
tanés de x en
tout à la fois,
àz uo pour les
t = F(#). La
t quand on y
11 dit, elle est
e calorifique
continue (sauf
t traversée du
CALCUL DE LA FONCTION AUXILIAIRE. 7
Or, si l’on effectue, dans son second membre, l’intégration en a,
il devient visible que, pour les grandes valeurs absolues de x,
¿¿se réduit bien à F(zhoo), ou à ±: u 0 , de sorte que toutes les con
ditions du problème se trouvent satisfaites. En elïet, l’on a (')
CO f~ (.*■—|) 2
(7 bis) f e-(« s oa s cosffr — ç)a]da =—e ’ taH ;
J 0 2 a v t
et l’expression (7) de u revient à la suivante, obtenue en premier
lieu par Laplace,
e -w 2 F
f/cO,
(■*■- li
(8)
= —i—/* e F =
‘ïasJ'KtJ—'t, v/tc «/_
1 é fi xi i en tous
’s, x variant
ix deux con-
de x, la for-
d’état initial
is changer de
es de l’équa-
cteur e~" aa2z .
a indéfinie et
même signe de
simple change-
îditions du pro-
ait alors symé-
du ,
—j- s annulerait
dx
où le troisième membre se déduit du second en adoptant la nou
velle variable d’intégration 10= ^—y - Les seuls éléments influents
2 ayt
de l’intégrale en m sont évidemment ceux où l’exponentielle e~ tü '
est sensible et où, par conséquent, la variable to ne se trouve pas
très éloignée de zéro. Or, dans ces conditions, si x est très grand
en valeur absolue, F\x 4- 2atoy/ij se confond avec F(zboo) ou
avec dz u 0 ; et il vient bien u = ± u 0 , vu la valeur connue, y/~, de
l’intégrale J' e
La formule (7) de u convenant ainsi pour ce, sous la condition
F(—x) = — F(ec), développons-y le facteur F(£) cosiax — a£)
par la formule du cosinus d’une différence; et séparons, dans le
produit, la partie en F(£) cosaq, impaire par rapport à ou
qui aura sa valeur moyenne nulle et disparaîtra, de la parti e, paire,
en F(£) sinai, qui aura même valeur moyenne pour ç négatif que
pour £ positif. Il suffira donc, en doublant le résultat, d’intégrer
la partie subsistante entre les limites £ = o, £ — 00, qui sont celles
où la fonction F(£) est donnée directement dans notre mur; et la
substitution finale, à F, de son expression (5), donnera, comme
formule de cp utilisable pour le problème posé, si nous désignons
pour la Méca-
formule (48)].
(*) Même Cours d’Analyse infinitésimale [Calcul intégral, Compléments.
p. 53a*, formule (i3i)].