534 ÉQUATIONS DE MOUVEMENT NON HOMOGÈNES, MAIS DU SECOND ORDRE :
où y, z), W(x,y,z) désignent les valeurs initiales (relatives
à t — o) tant cle la fonction <p que de sa dérivée première en t, et où
les intégrations / s’étendent à toute l’aire cr = 4 11 d’une sphère dé-
cu'ite autour de (¿r, y, z), dont les divers points
(a? 4- t cosa, y -+- t cos [3, z -+- t cosy)
sont les extrémités de rayons égaux t définis en direction par leurs
angles a, ¡3, y avec les axes ( 1 ).
1)0. Intégration de ces équations, dans le cas de deux coordon
nées y, z, ou de trois variables y, z et t, par l’introduction d’une
variable indépendante x supplémentaire. — La réduction de l’équa
tion (297) à celle du son (298) se fait par une méthode que m’a sug
gérée, dans le problème des ondes liquides superficielles d’émersion
à deux coordonnées horizontales, la nécessité d’y diviser des diffi
cultés d’intégration presque inextricables autrement ( 2 ). Elle consiste
à introduire une variable indépendante de plus que celles figurant
dans la question, variable destinée à recevoir finalement la valeur
zéro, mais dont la présence amène, chez la fonction, un nouveau
mode de variation, disponible à volonté et que l’on choisit précisé
ment en vue de tourner l’obstacle trop difficile à franchir.
Supposons d’abord que notre milieu ait seulement les deux dimen
sions correspondant aux coordonnées y, z, ou que l’équation pro
posée,
soit à intégrer dans le plan des yz, où <p et sa dérivée en t devront se
réduire initialement à deux fonctions données f(y,z), F(y,z).
Rien n’empêchera de construire cette fonction cp pour tout l’espace
et d’après la formule (299), c’est-à-dire en l’assujettissant à l’équa-
( 1 ) On peut voir une démonstration très simple de cette formule capitale (299),
par ce que j’ai appelé les potentiels sphériques, aux pages З20 à З2З du Volume
intitule Application des potentiels à l’équilibre et au mouvement des solides
élastiques, etc. et dans le Tome, consacré au Calcul intégral, de mon Cours
d’Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique (Compléments ,
p. 195* à J98*).
( 2 ) Même Tome de Calcul intégral, p. 5o6*. C’est, du reste, la méthode que
j’ai employée plus haut (p. 96) dans une question de refroidissement où elle
donne des résultats seulement approchés et non, comme ici, des résultats exacts.
