MANIÈRE DE LES INTÉGRER, POUR UN ESPACE A DEUX DIMENSIONS. 535 
tion (298), si l’on peut disposer de sa manière de varier avec x, 
arbitraire jusqu,'à présent, de telle sorte qu’elle vérifie à la fois les 
deux équations (298) et (3oo), ou qu’elle donne, à toute époque, 
(Soi) 
Par conséquent, la nouvelle équation (3oi) s’appliquera d’abord 
pour t infiniment voisin de zéro; c’est-à-dire qu’elle régira, en parti- 
culier, les valeurs initiales 4» (cr, /, z) et W( x, y, z). Donc, en repré 
sentant par les signes co, si, des cosinus et sinus soit hyperboliques, 
soit circulaires, suivant que le second membre de (3oi) aura le signe 
supérieur ou le signe inférieur, nous devrons prendre, vu la forme 
connue des deux parties tant paire qu’impaire de l’intégrale de (3oi), 
z ) = f(.y, *)co(ikx) + f r (y, z)s\(‘ikx), 
(302) \ 
( W(x,y, z) = ¥(y,z)co{ikx) -hFj(7, z) si(2kx). 
/(7,s), F(/, z), fi{y, z), F,(/,s) y désignent quatre fonctions 
arbitraires, dont les deux premières sont les valeurs données de 4 
et *F sur le plan des yz. 
D’ailleurs, avec ces expressions (3o2) de 4 et 'F, la valeur (299 ) 
de cp pourra évidemment, quel que soit t, se différentiel' en x sous 
les signes J'; et, les dérivées secondes des fonctions 4> *F par rapport 
à leur première variable, .r-p-icosx, y reproduisant identiquement, 
d’après la propriété qui nous a donné (3o2), ces fonctions mêmes 
multipliées par la constante zb\k-, l’équation (3oi) se trouvera satis 
faite à toute époque, non moins que (298). Il en résultera donc bien 
la vérification constante de l’équation (3oo) du problème. 
Gomme on n’a besoin des valeurs de cp que pour x = o, c’est-à-dire 
sur le plan des yz, les parties impaires en x des expressions (3o2) 
de 4 et l F, celles où figurent des sinus, donneront sous les signes 
de (299), des éléments égaux et contraires pour deux éléments da de 
sphère symétriques de part et d’autre du plan des yz, ou correspon 
dant aux mêmes valeurs de cos[3, cosy, mais à des valeurs égales et 
contraires de cosx et, par suite, de la première variable tout entière, 
qui sera ¿cosx. Donc ces parties impaires des expressions (3o2) dis 
paraîtront des résultats; et il ne restera que les parties paires qui, 
elles, fourniront des éléments égaux de part et d’au tre du plan des yz. 
On pourra ainsi n’étendre les intégrations indiquées dans la for-