MANIÈRE DE LES INTÉGRER, DANS LE CAS DUNE SEULE COORDONNÉE. 537
dernier terme de (3oo). Par suite, en posant
(d’où t cos ¡a d\j. = dz),
t sin U = T
l’intégrale (3o4 ) se réduit à
(3o6)
et l’on en déduit aisément ce que devient l’expression (3o3) de <p.
En vue de ce qui suit, convenons d’appeler /' la coordonnée unique z
figurant actuellement. Nous aurons donc, pour l’intégrale générale de
l’équation
sous les conditions que les valeurs initiales de la fonction <p et de sa
dérivée en t soient respectivement f(t') et F(/’) :
Celte formule a été, sauf la différence des notations, obtenue par
M. Henri Poincaré, pour le cas d’un ébranlement initial produit dans
une région limitée et discontinu aux limites de cette région; on la
retrouve, du moins, en dégageant les formules de M. Poincaré des
complications qu’y introduisent ces hypothèses restrictives ( 1 ).
( 1 ) La ¡Note de M. Poincaré a pour titre Sur La propagation de l’électricité :
elle est aux Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences (26 dé
cembre 18g3 ; t. CXVII, p. 1027). L’éminent analyste y intègre l’équation (307) par
l’emploi de la formule de Fourier, suivi de l’indispensable effectuation d’une des
deux intégrations définies auxquelles conduit cette formule (voir, par exemple,
à ce sujet de l’emploi de la formule de Fourier, mon Volume cité ci-dessus de
Calcul intégral, p. 5a5* à 535*). A la séance suivante de l’Académie des Sciences
(Comptes rendus, 2 janvier i8g4, t. CXVIII, p. 16), M. Picard reprit plus sim
plement la même équation, par le procédé d’intégration de Riemann pour l’équa
tion linéaire du second ordre à deux variables indépendantes. C’est dans les
séances des 22 janvier et 29 janvier ( même Tome des Comptes rendus, p. 162
et 223; voir aussi p. 271) que j’ai donné la méthode suivie ici, applicable avec
la même facilité aux cas de deux et de trois coordonnées.
Dès l’avant-dernier siècle et vers le commencement du dernier, Laplace et
Poisson avaient abordé la même équation aux dérivées partielles. Le premier
l’avait prise sous la forme
dC- 1 dt ^ dr 1
