POUR LES TEMPÉRATURES SUCCESSIVES DE SA SURFACE. 
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voit que la formule, sous forme finie, des températures succes 
sives u du mur sera 
Des différentiations immédiates permettent de constater que 
cette expression de u satisfait bien : i° à l’équation indéfinie 
du „ d^u „ , , i. . du , , v 
—jj = a* ; 2° a la condition — nu (pour x = o), exprimant 
le rayonnement à la surface. Et l’on reconnaît, d’ailleurs, direc 
tement qu’elle vérifie, 3° la relation d’état initial, u — u^ (pour 
t — o), 4° enfin, la condition u = u 0 aux grandes profondeurs x, 
où la fonction ^(to) est réductible à son expression asympto- 
e—w 2 
tique donnée ci-après. Retenons seulement, de ces différen- 
tiations et vérifications, la formule de la dérivée première de u 
en x : 
167. Formule asymptotique des températures de la surface. — 
Appelons u' les températures successives du mur à la surface 
x = o. Leur expression, obtenue en premier lieu par Fourier ( 2 ) 
au moyen de l’équation différentielle à laquelle se réduit alors (20), 
sera, d’après (29), 
(3i) u' — °ù tù = ahsjt. 
V/tt 
Elle est proportionnelle à la température initiale u, 0 et à une 
fonction assez simple de la variable (¡0 = ali\Jt. 
Quand la variable ta devient un peu grande, cette fonction tend 
rapidement vers une forme asymptotique extrêmement réduite. 
( 1 ) Voir, par exemple, dans mes Leçons d’Analyse infinitésimale pour la 
Mécanique et la Physique ( Calcul intégral, Compléments, p. 156* à i58* ), les 
méthodes pour calculer cette fonction 1]/ (w). 
( 2 ) Œuvres de Fourier, t. II, p. 277, formule (5). 
B. — II. 
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