LES THÉORÈMES d’hüYGENS OU DE FRESNEL s’Y APPLIQUENT. 56g
au cas d’une onde plane latéralement indéfinie, par la substitution à ¿, m, n, dans
cette expression, de l, m, n accrus respectivement de la différentielle fictive
Et si dtp, dy, d^, ... désignent les différentielles correspondantes des polynômes
cp, «j;, ..., les premiers membres de (a") seront, de ce chef, accrus, après divi
sion par S", de
1' dcp + m' djç + n' dcjq V dcp, -+- rri d^i 4- n ' d'j',, V dcp 2 + m ' d/.ï + n' d<^ 2 .
En tout, les équations du mouvement deviendront donc (après division par S")
pour un système d’ondes planes latéralement limitées, et en supprimant les
termes ¿'cp, ..., ri qui se neutralisent en vertu de (a") :
°,
s
<j/ 2 + 1' dcp 2 + iri dx, 2 + ri d<|/ 2 = o.
o
Appelons, comme dans la Note des pages 472 à 4/6, X', f, v' les trois polynômes
en l, m, n vérifiant les équations, à même déterminant que le système (a") et dès
lors compatibles aussi :
CpV-l- cp, f-h cp 2 v' = O, JfX'-|- Zl ! X, + %2 vf — °> l J - , + 4 , 2 vi = °*
Alors les équations (P"), respectivement multipliées par X', f, v' et ajoutées,
donneront
¿'(X'dcp + p/dcp t -t-v'dcp 2 ) -+- m'fk'dx + p-'dXi + v r à/ 2 )
-h ri ( X' d^ + p' d^i -t- v' dcj/ 2 ) = o.
c’est-à-dire, par la substitution à dcp, dcp,, ... de leurs développements
puis, à d (/, m, n), de leurs valeurs — y— >
et après suppression finale
(n
Multiplions par dt et intégrons, sur place, soit à partir d’un instant où le dé
placement 8 était nul dans la région (x, y, z), soit, s’il s’agit de mouvements
périodiques, de manière que la valeur moyenne de 8 durant une période soit nulle
en chaque point (x, y, z). De plus, remplaçons les cosinus directeurs l', m\ ri
du déplacement principal 8 par les polynômes proportionnels en l, m, n appelés
X, p, v; et désignons enfin par P, Q, R, comme dans la question analogue de la