a
h
LA FORCE VIVE s’y CONSERVE LE LONG DES RAYONS. 5^5
L’équation (y'") exprime ainsi, évidemment, la conservation, par chaque onde,
de sa force-vive suivant les x, le long de tout rayon émané du centre des ébran
lements.
Le cas où les trois inconnues |, t\, Ç se séparent effectivement dans les trois équa
tions du mouvement et où, par suite, trois seulement des neuf polynômes cp, y,
(J', diffèrent de zéro, savoir cp, y v ^ 2 , se trouve réalisé pour un milieu
transparent isotrope animé d'une translation rapide. Car, alors, l’équation (x 2 )
( p. 565 ), vérifiée à une première approximation, même dans les ondes courbes,
montre que 6 est une fonction très petite, de l’ordre de celles dont les dérivées
par rapport à la variable principale sont seules sensibles; ce qui réduit encore à
(a 2 ) l’équation (a',) en 0, môme à la deuxième approximation, et continue, par
suite, à y donner 0 = o. Il ne reste, dès lors, quels que soient les axes coordonnés,
ou fixes, ou animés d’une translation uniforme, que \ dans la première équation
du mouvement, r, dans la deuxième et Ç dans la troisième.
VI. — Cas général; équation aux dérivées partielles régissant le déplace
ment principal S. — Supposons maintenant que chaque équation du mouvement
contienne à la fois \, "q et Ç. L'on aura, pour ces trois inconnues, les formules (¡3)
(p. 568), avec l, m, n et, par suite, 1', m’, n’, fonctions lentement variables de.r,
y, z, et avec de petits termes correctifs e, e t , e 2 n'ayant de sensibles que leurs
dérivées principales, relatives à la variable t — ¿ 0 .
Ces termes donneront donc seulement les expressions ( p, ) ( p. 568 ) aux premiers
membres des équations de mouvement.
Quant à la partie principale de ç, qui est ¿'S, elle y donnera visiblement des
expressions analogues à (y"), sauf substitution de /'S à \ et, par suite, de V5' à et
de f' 2 (8' 2 )' ou 2/' 2 5'S" à (¡j' 2 )'. Ainsi, la partie en l'ô de la première équation du
mouvement sera
ïrêjy ***-&(Ê" s j- i(S S ’ ! )- 5(S" s ”)]
ou bien, en multipliant par —26' et dédoublant l' 2 S' 2 en Z'(Z'8' 2 ),
2 6' 1' 6" cp
d.£ÿrs' 2 d.-p-1'S' 2 d.p-i'B' 2
dl dm dn
dx ây
do di' dy di' do di'
dl dx dm ày dn dz
dz
Les termes en m' 5, n' 6 donneront des expressions analogues; et la première
équation du mouvement sera, en tout, après suppression des termes en l'cp, m'y,
n'ty, se neutralisant en vertu de la première relation (a") (p. 567) :
(9)
(v*l
v dl
— 2 8' ( epe" -+- yz\ -1— 4' s 2 )
do
à. 1'
-+-
dm
dl , dty
dm dm
dy di'
dl dx
ày
dy^ dm'
dl dx
d^ du'
dl dx
dl
dì
,dù
1 dl
dx
d. I
" c h
dn
'Tn
, dû
i -r 1 -
dn
dz
dy di' dy dm'
dm dy dm dy
dty dn'\ _
dn dz ) ~ °’
