590 ÉQUATIONS DES FORCES VIVES ET DU VIRIEL,
expression où le terme en J'pourrait s’écrire encore
Mais faisons abstraction, comme dans l’équation des forces vives, de ce terme
relatif à la surface limite, où nous supposerons, par exemple, que règne le repos .
Alors le double de l’expression (d) équivaudra, en remplaçant une fois cette
expression par le second membre de (d'), à
Or l’on a, par exemple,
. di\" d'(\ _ d 2 /., dt\\ Y,dr\
^ dz 1 dz dp \ dz) 2 ’ dz ’
et la moitié de l’expression (d"), c’est-à-dire l’intégrale même (d), qui est à
considérer, devient
(e)
d-r\'
~dJ
dXJ_
dy
-]
dxz.
Telle est, par conséquent, la quantité dont s’accroîtra ici le premier membre
de l’équation (s") du viriel (p. 286) obtenue au n° 10. On remarquera que son
second terme est l’expression (a' ) changée de signe, et que le premier est, comme
le premier terme de (s") (p. 286), la dérivée seconde, par rapport au temps,
d’une intégrale où ç, Ç se trouvent ou tels quels ou différentiés seulement
en x, y, z.
En raisonnant comme au n° 11 (p. 286 et 287), on reconnaîtra de même que,
dans les propagations d’ondes, l'énergie actuelle totale, en y comprenant le
terme ( a'), égale l’énergie potentielle élastique, et qu’elle se conserve séparé
ment, non moins que l’énergie totale elle-même. Et elle se conserverait encore,
mais seulement en moyenne, dans des ondes périodiques stationnaires.
III. Cas où la force vive se conserve. — II y a lieu de distinguer les mou
vements où l’expression (c) et, par suite, le nouveau terme (a') s’annuleraient,
puisque alors les formules des forces vives et du viriel seraient les mêmes que
dans un corps sans pouvoir rotatoire; d’où il suit que la force vive, prise à part,
s’y conserverait. Or, annuler l’expression (c), c’est exprimer Yintégrabilité de
l’équation, aux différentielles totales,
( e') dx -+-1\ dy + t,'dz — 0,
c’est-à-dire, admettre que les petites droites (à projections dx, dy, dz sur les
axes) perpendiculaires en {x, y, z) à la vitesse (!•', t\ , Ç'), et qui couvrent tou
jours, de la sorte, un élément plan autour de (x,y,z), constituent ainsi de
proche en proche, aux différents points (x, y, z) de l’espace occupé par le corps,
une certaine famille f (x,y, z) = c de surfaces courbes. C’est donc admettre que
les vitesses Ç') se trouvent, à tout instant, partout normales à une famille
