42 ÉC 11 AU FF EM EN T PERMANENT, MAIS INÉGAL, d’üN MUR ÉPAIS 
182. Calcul de la fonction auxiliaire cp. — Le cas de réchauf 
fement permanent par contact serait celui où, h étant infini, u se 
confondrait, à la surface, avec u e . L’idée vient alors immédia 
tement à l’esprit de satisfaire aux relations (47) et (49) au 
moyen du potentiel newtonien d’une mince couche matérielle m, 
que l'on se représenterait étalée sur la t'égion z de la surface. En 
appelant c(è, c) la densité, par unité d’aire, de cette couche 
fictive, au point de <7 qui a les coordonnées x = o, y = b, z — c, 
et ;■ = \Jx- + ( y—6) 2 +(s — c)- la distance du point intérieur 
quelconque (x,y,z) du mur au point (o, b, c) de la superficie, 
ou à l’élément dm de la couche fictive qui couvre l’élément dz de 
surface comprenant ce même point (o, 6, c), le potentiel dont il 
s’agit, à paramètre A., nul hors de la couche ou, en particulier, 
dans tout l’intérieur du mur, sera 
p(b, c) da 
r 
p(b, c) dar 
y/¿P 2 —t— (7 — b) 2 -+- (z — c ) 2 
la 
Et il est évident, la masse J'dm se trouvant localisée 
gion o-, qu’il satisfera aussi à la condition (49). 
Il ne lui resterait donc, pour convenir au problème dans le cas 
du contact, qu’à vérifier la condition (48) prise avec h infini, ou 
à égaler à la limite x = o. Or, pour x — o, le potentiel 
n’a pas des rapports simples avec la fonction p qui sert à le 
former. 
Mais on sait (■) que sa dérivée suivant la normale à la couche, 
d r dm 
savoir, ici, sa dérivée en x, 
/ dm 
en a, au contraire, et se 
réduit à — 27Tp(y, z) quand l’abscisse positive x tend vers zéro. 
De plus, cette dérivée en x du potentiel vérifie évidemment, tout 
comme le potentiel lui-même, l’équation linéaire (47)5 à coeffi 
cients constants, et la condition (49)- Si donc on essaye de 
l’adopter pour a, sa valeur devenanL —27zp(y,z) sur la face 
x — o, cette dérivée transformera l’équation (49), prise avec 
h infini, en celle-ci, 
— 21tp(7, z) z), 
(') Voir, par exemple, mou Cours d'Analyse infinitésimale pour la Méca 
nique et la Physique (Calcul intégral, Compléments, p. 224*).