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{m + p) X 2 -f- (m -j- n) X 3 = 2 m X -j- n B -f- p C — X -f- m A; 
oder: 
™ + n V . m+p m A , 1 v 
m -f- 1 3 in -f- 1 2 i» + 1 ' m -f- 1 
Setzen wir diese Ausdrücke gleich Y, , so ist Y, der 
Durchschnittspunkt der Geraden X 2 X 3 und X X. Also, 
wenn wir analog auch Y 2 und Y 3 einführen: 
m 
X + 
1 
X 
tu 1 
m -j- 1 
n 
B + 
1 
X 
n -f- 1 
n -|- 1 
V 
C + 
1 
X 
P + l 
P + 1 
Die letzten Formeln gehen durch äussere Multiplication 
mit 
resp. X, B 
, C und X: 
A Y.= 
-4-7 XX; 
X Y, 
m 
XX 
m -f- 1 
m + 1 
BY 2 — 
— B X; 
n -f- 1 5 
x Y 2 
n 
n -f- 1 
XB 
CY 3 = 
—4^6'X; 
P+ 1 ’ 
XY 3 
__ P 
P + 1 
XC 
oder 
durch Division: 
AY t 
1 BY, 
l 
CY 3 
i 
1\X 
~ m» Y 2 X~ 
n ’ 
Y 3 X 
~ p ’ 
Andererseits ist aber auch: 
AX t 
1 BX 2 
1 
cx 3 
l 
XXi ~ 
~ m ’ XX 2 - 
n ’ 
xx 3 
p 
Eine gegebene Strecke (.A — X) ist also auf doppelte 
Weise in einem gegebenen Verhältnisse (1 : m) theilbar. — 
Es ist nun: 
AY t : Y t X — AX t : XX,; 
BY 2 : Y 2 X = BX 2 : XX 2 ; 
CY 3 : Y 3 X = CX 3 : XX 3 . 
Zwei Punkte (X,, Y,), welche eine gegebene Strecke 
(X— X) in gleichem Verhältnisse theilen, heissen harmo 
nisch mit den Endpunkten der Strecke. — Da auch 
XY, : XX, = Y, X : XX,, 
so wird auch die Strecke (X, — Y,) von den Punkten X 
und X harmonisch getheilt. Man nennt daher alle vier