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ßi Ts) 
abc — e { c 2 e 3 [«, (ß 2 y 3 — /UjV> + cc 2 (ß 3 y l 
+ “Äßi 7-2 — ß 2 ri)]- 
Es kommt nun nur noch darauf an, das Product der drei 
Punkte e 4 e 2 e 3 zu bestimmen. 
Unter dem Producte dreier Punkte e { , e 2 , c 3 (e l e.,e 3 ) ver 
stehen wir einen Flächentheil (Theil der Ebene) ; welcher mit 
dem Parallelogramm (e l e 2 — e 3 e 4 ), worin (e 4 — e 2 ) = (e 3 — e 4 ) 
ist, gleiche Grösse und Seite hat.*) 
Anm. Das Parallelogramm erscheint also als Lagenunterschied 
zweier Linientheile, der Flächentheil als Theil der durch diese Linien- 
theile bestimmten Ebene. Das Parallelogramm ist eine arithmetische 
Grösse, der Flächentheil ein reines Ausdehnungsgebilde. 
Es sind nun folgende Fälle möglich: 
1) a,b, c sind vielfache Punkte; dann ist (ab c) ein 
vielfacher Flächentheil. 
2) b und c seien Punkte, a eine Strecke (== c — d). 
Dann ist 
abc — (c — d) b . c — — dbc; 
d. li.: abc ist ebenfalls ein Flächentheil. 
3) b und c seien Strecken, a ein Punkt; [b = a 
(c — a — e); dann ist: 
ab c — a(ct — d) (a — e) — a de, 
und ab e wieder ein Flächentheil. 
4) a, b, c seien Strecken, a = (d — e); b — (d 
c = (d — g). Da aber zwischen drei Strecken in derselben 
Ebene stets eine Zahlbeziehung besteht, so ist in diesem 
Falle das Product ab c = 0. 
Ueberhaupt ist das Product iii allen Fällen Null, wenn 
zwischen den drei Grössen abc eine Zahlbeziehung besteht; 
d. h. in 1) wenn die drei Punkte, in 2) wenn die zwei Punkte 
mit der Strecke in derselben Geraden liegen, in 3) wenn die 
beiden Strecken parallel sind. — Alles dies ergiebt sich durch 
Untersuchung der Beziehungen zwischen den Zahlen aß y. 
Bezeichnen wir das Parallelogramm (e, — oder lto. 
(e { e 2 ) — (e 3 e 4 ) mit S, sodass 
. S = 0, — e 2 ) = (e 4 e 2 ) — (e 3 e 4 ). 
Dann ist: 
«0; 
f)\ 
*) Vgl. G. A. I. § 114. 115. 
Schlegel, Syst. d. Raumlehre.