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oder: 
endlich: 
Anm. Da es bei der Bestimmung eines Punktes auf die Länge 
der ihn bestimmenden Linien nicht ankommt, so kann man im regres 
siven Producte die Linientheile mit den durch sie bestimmten Geraden 
vertauschen. 
Das Product eines Linientheils und eines Punktes (oder 
dreier Punkte) ist progressiv, und dem durch beide bestimmten 
Parallelogramm an Grösse gleich. Es ist Null; wenn der 
Punkt mit dem Linientheü oder den beiden anderen Punkten 
in derselben Geraden liegt. (Bereits oben bewiesen.) 
Multiplicirt man die in 2), 1), 3) am Schlüsse erhaltenen 
Gleichungen mit einander, so folgt: 
(e,e 2 ) (c,c 3 ) faß,) (e 2 c 3 ) (e^) (e,e 3 ) = (c x e 2 e 3 ) e x (e, e 2 e 3 )c 2 (e J e 2 e 3 ) e 3 5 
oder: _ ( Cj g 2 ) ( 6i e 3 ) (e 2 e 3 ) . (e l e 2 ) (e, e 3 ) (c 2 e 3 ) 
(djC 2 e 3 ) (G e 2 e 3) ( e l c 2 c 3) * ( 6 'l C 2 C 3)? 
[(Ciß 2 ) (Cje 3 ) (e 2 e 3 )] 2 = (e x e 2 e 3 ) 4 ; 
(e^g) (e 2 e 3 ) = (e,^) 2 : 
d. h.: Z)<7S joL Product dreier, die Seiten eines Dreiecks bil 
dender Linientheile ist gleich dem vierfachen Quadrat dieses 
Dreiecks. Es ist also nur dann Null, wenn die drei Punkte 
zusammenfallen. M. a. W.: Das planimetrische Product 
dreier durch einen Punkt gehenden Geraden ist Null. 
Wenn ein beweglicher Punkt X mit zwei anderen festen 
Punkten A und D auf derselben Geraden liegen soll, so 
wird diese Bedingung ausgedrückt durch die Gleichung: 
(XAD) = 0. 
Diese Gleichung heisst die Gleichung des Punktes X, und die 
durch A und D bestimmte Gerade der geometrische Ort des 
Punktes X.*) 
*) Gebergang zur Gleichung in rechtwinkligen Coordinaten. Sei 
'0 der Anfangspunkt, für A(x l y^)\ B(x 2 y 2 ); 
X(xy) die rechtwinkligen Coordinaten, ferner 
(X -0) = n (A - 0) = r,; (B—0) = r 2 , 
dann ist: (XAB) = 0-, oder: 
(0 + r)(0 + r,) (0 +r 2 ) = 0; 
oder: 
Or t r 2 —|— rOr t "f" r r j 0 — 0, 
weil (0 0) — 0 und auch r x r 2 r 3 als Product von drei Strecken in der 
selben Ebene Null ist. Weiter: 
0(r t r 2 — rr 2 -f rr,) — 0; r(r, — r 2 ) -f r,r 2 = 0;