f-* ! ü-'" „
m.
— 111 —
oder:
y > 2 ( x i + #3) [(^1 ~ x z)ß #2] + #2 2 (?/ 1 — 2/3) [(?/1“b 2/3] ß — 2A>J
— *2 02 [®2 0/l + ?/ 3 ) — «/2(^1 — »3)] = °>
oder:
V-i ßO3 2 — x i 2 ) + 2i/./#,+ .« 2 2 [(?/, 2 — y 2 2 )ß — 2y x y,\ = 0.
Setzt man nun:
«s _
x, — *^ v. ~ " 2 5 ,1 — »3;
so folgt:
ß(g 3 2 - 1) + 2*« = ß(u, 2 — 1) + 2Uo
z *l u 2 2
Diese Gleichung zeigt, dass auch Y auf der Curve liegt.
Es sind nun drei Fälle zu unterscheiden, nämlich:
1) m = 0; 2) m < 0; 3) m > 0-
1) m = 0. Dann ist, wenn weder x 2 noch x i Null ist:
ß (V — 1) ~f" 2 z 2 — 0,
oder, wenn wir ß — 2z 2 = v setzen:
ßh' = v.
Dies ist die einfachste Zahlengleichung der Parabel.
2) m ^ 0. Dann ist: |
ß{*$ — 1) + + m ^2 2 = 0;
oder:
ßz 2 2 -f- m (z 2 -f — Y= ß -j- —
' z 1 w/ ' 1 m ’ el
r
oder, wenn wir z 2 -J — v setzen:
i ' m
ß*z + mv 2 = (ß + ~). A
Je nachdem m positiv oder negativ ist, stellt diese Glei
chung eine Ellipse oder Hyperbel dar.
Ist im erstereu halle wi = ß, so kann man schreiben:
Z S + V 2 = 1 + Jz = r 2
als Gleichung des Kreises. Im speciellen Falle ß- = 3 ist
das Dreieck der Punkte A, C, E gleichseitig.
Jin zweiten Falle kann man m = -y— setzen und
schreiben:
(Vß z i + V m i v ) (VßZ'j — j/m { v) = (/3 —
ti