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gleichzeitigen Bestrebungen in der Mathematik weit entfernt,
und die räumlichen Anwendungen kamen meist nur der Ele
mentar-Geometrie zu Gute, welche damals noch unerschüttert
auf der Euklidischen Basis thronte. •— Aus der Wahrnehmung
dieser Schwierigkeiten ging nun eine neue Bearbeitung der
Ausdehnungslehre hervor, die gleichzeitig einen zweiten (schon
in der ersten Ausgabe in Aussicht genommenen) Theil um
fasste, und im Jahre 1862 erschien. Hier sehen wir den
ganzen Stoff in die mehr gegliederte Form von Lehrsätzen
und Beweisen gebracht. Aber wenn auch dadurch eine dem
Mathematiker geläufigere Form der Darstellung erreicht war,
so hatte doch die Sache selbst wenig gewonnen, da die neue
Form den Ueberblick über das ganze System wesentlich er
schwerte, und die Beweise in ihrer nothwendigen Länge un-
gemein ermüdend waren. So hat denn bisher auch diese
zweite Bearbeitung die Zahl der Freunde dieser neuen Wissen
schaft, soweit mir bekannt geworden, nicht erheblich ver
mehrt. — Gleichwohl deuten alle Anzeichen darauf hin, dass
die Zeit, wo dieselbe in die Entwickelung der Mathematik
eingreifen wird, nicht mehr fern ist. — Die neueren Methoden
der analytischen Geometrie nähern sich schon vielfach den
Ideen der Ausdehnungslehre, und von den symbolischen Punkt
gleichungen Hesse’s ist beispielsweise nur noch ein Schritt
bis zu den Punktgrössen Grass mann’s.*) Auch sonst sind
in manchen Fällen von Anderen dieselben oder ähnliche Re
sultate gefunden worden, wie sie an weniger beachteten Stellen
der G ras s mann’sehen Schriften niedergelegt sind. Vom
Standpunkte der höheren Geometrie aus ist. neuerdings eben
falls das Gebiet der n Dimensionen betreten worden, und
die elementare Geometrie, die den nächsten und grössten
Nutzen aus den Anwendungen der Ausdehnungslehre zu ziehen
berufen ist, sucht sich aus den Fesseln des Euklid’schen Sy
*) Diese nahe Beziehung fiel mir besonders auf, als ich eine mit
den Methoden der neueren Geometrie (1865) ausgeführte Arbeit über
zwei reciproke Oberflächen nach den Principien der Ausdehnungslehre
umarbeitete (Schulprogramm Waren 1871). — Ygl. auch z. B. Nr. 167
—172 des vorliegenden Buches mit der Darstellung desselben Gegen
standes bei Hesse, Yorlesgn. aus d. anal. Geom. d. geraden Linie
(Leipzig 1865) S. 51—59.