131 
ax ? -f- by 1 -f- exy -f- dx + ey -f- f, 
und hat die Form: 
O 2 + ?/ 2 ) + + yy + 
ist also aus den vier Einheiten (x 2 -j-y' 1 ), x, y, 1 ableitbar. 
Sie heisst a-fach, wenn das erste Glied noch den Coefficienten 
a bei sich hat. 
Statt aus den vier Einheiten kann jede Kreisfunction 
aus vier anderen Kreisfunctionen abgeleitet werden. 
Wenn P (x n y { ) ein beliebiger Punkt der Ebene, 0 der 
Mittelpunkt eines Kreises, und r sein Radius ist, so ist der 
Doppelabstand des Punktes vom Kreise, wie wir oben sahen, 
g,eich {P - 0 f-rK 
Aber wenn X (x, y) ein variabler Punkt, so ist: 
%(x,y) = (X-0) 1 -r 1 = 0 
die Gleichung des Kreises, auf dem X liegen muss. Folglich 
ist der Doppelabstand des Punktes P auch ausgedrückt durch: 
80*1; Vi)- 
Wenn drei Kreisfunctionen von x und y sind, 
und jf,, jc 2 , x 3 die Kreise, deren Gleichungen =0, = 0, 
$ 3 = 0; wenn dann 
$3 = K i 8l + a 2 82 ( a i + « 2 = 1) 
ist, so haben die Kreise x i und x 2 zwei Durchschnittspunkte, 
deren Coordinaten durch das System = g 2 = 0 bestimmt 
sind. Dann ist aber auch g 3 = 0; d. h. der Kreis x 3 geht 
durch dieselben beiden Durchschnittspunkte. Hiernach haben 
drei Kreise, welche in einer Zahlbeziehung stehen, zwei Punkte 
gemeinsam. Auch haben sie eine Gerade gleichen Doppcl- 
abstandcs, deren Gleichung g, — %, = 0 ist, woraus auch 
di — 83 = 0 folgt. 
Wenn zwei Kreise (g, = 0, g 2 = 0) gleichen Doppel 
abstand von irgend einem Punkte haben sollen, so ist für 
diesen Punkt: 
81 = 82; oder: 81—82 = 0. 
Da in dem Ausdruck g, — g 2 die quadratischen Glieder sich 
heben, so stellt die Gleichung g t — g 2 = 0 eine Gerade vor. 
Zwei Kreise haben aIso stets eine Gerade gleich en Doppel- 
abstandes. 
9*