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M
w
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VF
Durch Elimination von B erhält man:
A g (C — JE) -j- A (F — (7) -f- g (F — A) -{- (A. — E) = 0,
und durch Aenderung der Zeichen von A und g:
Ag (G — F) — X(E - C) — p(F—A) + (A — E) = 0.
Durch Addition und Subtraction dieser Gleichungen er
hält man:
Ag (C — F) = (E — A)j A(E—C)= g (A — F),
oder durch Multiplication:
P (C — F) {F — C) = {E — A) (A - F);
endlich: .. ,. A ^
12 = № ~ A ) (A — F )
(C — F) ' (E — G)
und indem wir A mit E, F mit C vertauschen:
,,2 {E-a) Ce-c)
‘ (G-F) ' (A - F) ‘
Da nun A und g vollkommen bestimmt sind, so gicbt cs
zu zwei gegebenen Punletcpaaren nur ein harmonisches. Drückt
man A 2 noch als Product der beiden mit A gleichen Quo
tienten aus, so findet sich, dass zwischen den drei Punkte
paaren (B y D), (A, C)y (F, F) die Gleichung besteht:
oder:
(JB -A) (A — D) _ (E — A)
(® - C) ' (D -G) ~ (G - F)
(B - A) (J) - A) (E - A)
lB — C) ’ (D -r G) "T (F—G)
(A-F)
\E-Cy
(F - A)
(E - C)
= 0.
Eine andere Beziehung erhält man aus dieser durch Ver
tauschung von A und C mit resp. E und F.
Vertauscht man die Differenzen mit den Sinus der Win
kel, die von den entsprechend benannten Geraden gebildet
werden, so erhält man ähnliche Formeln und Sätze für die
harmonischen Linien.
171. Soll das Paar (B, B) ausser mit (A, C) und (JE, F)
noch mit (G, H) harmonisch sein, so tritt zu den beiden
vorigen Gleichungen noch die dritte hinzu:
(B G) __ (D G) _
(BH) (DH) — V •
Alle drei Gleichungen geben folgende Werthe für B
und I):