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der Punkt ausserhalb der Geraden liegt. — Eine Gerade, 
welche anfangen soll, sich zu bewegen, kann also entweder 
ihre Lage oder ihre Richtung ändern. 
2. Bestimmung durch mehrere feste Punkte. 10. 
Eine beliebige feste Gerade a ist durch zwei beliebige 
ihrer Punkte, A } B, vollkommen bestimmt. Sie ist es noch, 
wenn man A mit B vertauscht. Durch diese Vertauschungs 
fähigkeit ist ihre zweifache Richtung ausgedrückt. 
.. Hiernach ist die Ableitung einer Geraden aus zwei Punk 
ten vergleichbar der Ableitung einer Summe aus zwei Sum 
manden; wir können daher sagen: 
A _|_ 2> = it; Die Summe zweier Punktsysteme A und 
B _|_ A — a. B ist die durch sie bestimmte Gerade a. 
Sind drei Punkte auf der Geraden gegeben, A, B, C, 
so ist die Gerade schon durch zwei beliebige davon bestimmt. 
Also: 
wenn A -j- (B -(- G) — B (C -f- A) = C -}- (A -f- B) — a, 
so ist: B -f- G — G -f- A = A -f- B — a. 
Aus den letzten beiden Formeln folgt noch 
A —J- a — a. 
Dies ist die Bedingung, unter welcher ein Punkt A aut einer 
Geraden a liegt. 
Betrachtet man in der letzten Formel A und a als 
Brossen, so muss entweder 4 a — oo, oder A — 0 gesetzt wer 
den; d. h.: die Gerade enthält eine unbestimmte Menge von 
Punkten; der Punkt hat, mit der Geraden verglichen, keine 
Grösse. 
Anm, Die Gonstruction einer Geraden aus zwei auf ihr gegebenen 
Punkten wird mit Hülfe des Lineals ausgeführt. 
II. Grössen im Gebiete der Geraden. 
A. Abgeleitet aus einem beweglichen Punkte. — 
Die Strecke. 
a) Einmalige Bewegung des Punktes. — Eine Strecke. 
Durch begrenzte Bewegung eines Punktes entsteht ein n. 
die Lagenänderung des Punktes bezeichnender Theil einer