59. Die Formeln in 56. kann man übereinstimmend schreiben:
a —(— = b -j— tij j
oder:
ct —j~
2
- h + a i
m.
Wenn zivci Parallelogramme
gleich, und ihre Anfangsseiten
gleich und gleich gerichtet sind,
so haben die Parallelogramme
zwischen der Anfangsseite des
einen und der Endseite des an
deren dieselbe Halbirungslinie.
60. Die Formel a — m — m — lässt sich auch schreiben:
(m — b^ -f- (m — a) — 0.
Nunmehr lässt sich der Begriff der Mittellinie dahin er
weitern, dass man sagt: Für v gleiche und gleich gerichtete
Linientheile a, b, c ... n auf einer Ebene ist derjenige
Linientheil die Mittellinie, welcher der Bedingung genügt:
(m — a) -j- (m — b) -(- • • • -f- (m — n) — 0,
oder:
ct -4- b —(— • • • pi
m = —
61. Parallelogramme, die nicht an einander liegen, werden
erst nach 56. aneinander gelegt, und dann nach 46. addirt.
62. Sei die Summe von n Parallelogrammen dieser Art gleich
Null, so können wir (analog wie im Gebiete der Geraden)
für jeden, der Erzeugungsseite gleichen und gleich gerichteten
Linientheil r den Satz ableiten, dass die Parallelogramme,
ivelche aus r und den Anfangsseiten gebildet sind, dieselbe
Summe geben, wie die aus r und den Endseiten abgeleiteten.
63. Fallen insbesondere die Endseiten alle in eine Gerade
und sind durch m bezeichnet, so erhält man den Satz: Wenn
in einer Ebene v gleiche und gleich gerichtete Linientheile ge
geben sind, so ist für jeden anderen gleich langen und gleich
gerichteten Linientheil der Ebene die Summe der Parallelo
gramme mit diesen Linientheilen gleich dem v fachen Parallelo
gramme mit ihrer Mittellinie.
Anm. Die Aufgabe: die Mittellinie zwischen einer Anzahl gleich
langer und gleich gerichteter Linientheile zu suchen, ist hierdurch
zurückgefiihrt auf die Aufgabe: ein gegebenes Parallelogramm in n
gleiche Theile zu theilen.