abhängt. — Es entstehen also durch gleich grosse Drehungen 
einer Geraden um verschiedene ihrer Funkte auch gleich ge 
richtete Geraden, d. h.: 
Haben zwei Geraden gleichen Richtungsunterschied gegen 
eine dritte, so haben sie auch gleiche Richtung, und um 
gekehrt. 
c>7. Bei fortgesetzter Umdrehung um den Punkt 0 muss die 
Gerade a allmälig alle durch 
a 0 möglichen Richtungen an 
nehmen; cl. h. alle Richtungen, 
welche der Punkt 0 selbst an- 
nehmen könnte, wenn er sich 
^ bewegte. Schliesslich muss sie 
in die ursprüngliche Richtung a zurückkehren. Man hat dann: 
a — «; oder a . (-}- 1) — a. 
Die Grösse derjenigen Drehung, welche eine Gerade in 
ihre ursprüngliche Richtung zurückführt, kann durch den 
-Factor (+ 1.) ausgedrückt werden. Der einer solchen Drehung 
(einer „ganzen Umdrehung“) entsprechende Winkel kann ein 
geschlossener Winkel genannt werden. Und: Multiplication 
einer Geraden mit (-1-1) bedeutet eine ganze Umdrehung 
der Geraden. 
68. Eine Drehung von ebenfalls bestimmter Grösse wird die 
Gerade a in die entgegengesetzte Richtung bringen, d. h. (+ a) 
in (— d) verwandeln. Man hat dann: 
_ «•(-!)•=(-«)• 
Die Grösse derjenigen Drehung, welche eine Gerade a in 
die entgegengesetzte Richtung bringt, ist hiernach durch den 
Factor (— 1) auszudrücken. Der entsprechende Winkel heisst 
ein gestreckter Winkel. — Ferner ist: 
(— a) (— 1) = a; a . (— l) 2 = a\ 
d. h.: Eine weitere gleich grosse Drehung führt die Gerade 
aus der entgegengesetzten Richtung in die ursprüngliche 
zurück. — Der gestreckte Winkel ist also die Hälfte des 
geschlossenen. Und: Midtiplication einer Geraden mit (— 1) 
bedeutet eine halbe Umdrehung der Geraden. 
69. Suchen wir endlich denjenigen Factor x zu ermitteln, 
welcher eine Gerade um die Hälfte eines gestreckten Winkels 
dreht. Daun ist