— 38 — 
Fortgesetzte Drehung über 4 R hinaus führt die Gerade 
immer wieder in solche Richtungen, die sie schon früher inne 
■gehabt. 
Die Fähigkeit der Zahl i, alle Richtungsveränderungen 
einer Geraden durch ihren Exponenten auszudrücken, hängt 
mit der Thatsache zusammen, dass der rechte Winkel ebenso 
als Mass aller Winkel gebraucht wird, wie irgend eine als 
Längeneinheit bezeichnete Strecke als Mass aller Strecken. 
Nur ist der rechte Winkel ein absolutes, die Längeneinheit 
ein relatives Mass.*) 
Eine Gerade mit i n multipliciren "bedeutet also nichts 
weiter als: dieselbe Gerade um n Rechte drehen. Dabei 
kann n jede reelle Zahl vorstellen. 
70. Wie eine Strecke durch ihre beiden Endpunkte, so ist 
ein Winkel durch seine beiden Schenkel [a-, b) vollständig 
bestimmt. 
Durch Vertauschung von a und b erhält der Winkel die 
entgegengesetzte Seite der Ebene (d. li. er bleibt ungeändert, 
wenn man ihn von der entgegengesetzten Seite der Ebene 
betrachtet). 
Hiernach entspricht, mit dem schon gefundenen Resultat 
übereinstimmend, die Ableitung eines Winkels aus zwei Ge- 
*) In der höheren Analysis beweist man, dass 
7t 
i l = e 2 , 
wo E das dem rechten Winkel entsprechende Ausdehnungsgebilde, 
gemessen durch eine Strecke, bedeutet. Hieraus erhält man: 
Der letztere Factor e ai ist derjenige, dessen sich H. Grassmann 
zur Bezeichnung einer Drehung bedient (vgl. Ausdehnungslehre I. Vor 
rede S. XI ff.). Dagegen hat, wie man sieht, in der elementaren Dar 
stellung i n den Vorzug der grösseren Einfachheit. — Die letzte Formel 
zeigt übrigens noch den Zusammenhang zwischen dem Winkel a und 
dem Winkel B. Wird nämlich die Grösse des rechten Winkels durch 
die Zahl * bezeichnet, sodass « — n- ~ = nB, so ist eben i n = e a \