tl. h. m hat gleichen Richtungsunterschied gegen a x und b. 
Die Gerade m heisst die Mittelrichtung von a x und b, oder 
die Halbirungslinie des Winkels (b : a x ). 
Aus der letzten Formel folgt: 
b . a x — m . m — m 2 ; Die zweite Wurzel aus dem Pro- 
0( j er; ducte zweier Richtungen stellt 
m = + }Zb . a x . ihre Mittelrichtung dar. 
Das doppelte Vorzeichen der Wurzel entspricht der dop 
pelten Richtung von m. 
Ferner ist in diesem Falle: 
(b x : a) — 1 ; (b : a x ) = i 2p . Pie Halbirungslinie theilt den 
(){ l er: Winkel in zivei gleiche Theile. 
m = + Ya>y i 2p — + a x i p . 
Die Formeln in 81. kann man übereinstimmend schreiben: 84. 
Wenn zwei Winkel einander 
gleich sind, so haben die Winkel 
zwischen der Anfangsrichtung des 
einen und der Endrichtung des 
anderen gleiche Mittelrichtungen. 
Anm. Wenn a und b x beide ihr Zeichen ändern, d. h. wenn man 
die entgegengesetzten Richtungen beider nimmt, so bleibt a. b u mithin 
auch m ungeändert, nämlich nach Belieben positiv oder negativ. — 
Aendert dagegen b x sein Zeichen allein, so sei ¿>, = — A>, und man hat: 
-— a ,b 2 = 
a . b 2 = — w 2 ; 
+ V a . b 2 — m . i — m i . 
D. h.: m dreht sich um einen Hechten. (Die Halhirungslinien zweier 
Ncbemvinkel bilden einen rechten Winkel.) 
Die Formel (b: m) — (m : af) lässt sich auch schreiben: 85. 
(m : «,) . (m :&) = !. 
b . a x — a . b x 
oder: 
]/b . a t = j/a . b x = m.