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A {A - X) = ßA {A — B) -f- y A (A — <7); 
— Z) = ß (A — B) + y {A - C). 
In analoger Gestalt lassen sich auch die beiden anderen For 
meln schreiben. Sie lehren nun, wie der Punkt X durch 
Construction gefunden werden kann. 
112. Sei wiederum 
X, — ß v B -f- y l G] (ßi -f- V\ = 1); 
aber ausserdem: 
+ 7; («,+$, = !). 
U— — «j A -f- /3,7)' -f- 
v—îA + % B +% c - 
Dann ist : 
Wenn also in der Gleichung: 
X= uA + ßB + yC 
eine der Zahlen negativ ist, so liegt der Punkt X jenseits 
der Seite, welche dem negativen 
Punkte gegenüberliegt. 
Ist /3, = <5j, so ist auch 
a i = 7\ 5 die Gleichung für U 
lautet: 
(U — B) = y (C — A); 
A 
und U liegt auf der durch B mit (C — A) gezogenen Parallele. 
Ist y y — d,, so ist auch ccy = ßy- die Gleichung für U 
lautet: 
U=-&A+p i B + C; oder: (U - C) = || (B - A)] 
und U liegt auf der durch C mit (B — A) gezogenen Parallele. 
Ist ßy = y, = d i} so ist auch — d, (= •£), und U 
ist der vierte Eckpunkt eines Parallelogramms. 
Sind ccy, ßy, Yy < dy, so liegt JJ innerhalb dieses Paral 
lelogramms, sonst ausserhalb. 
In der allgemeinen Gleichung bestehen also für ersteren 
Fall folgende Bedingungen: