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2) ec ß y sind alle Meiner als Eins, aber eine dieser Zah 
len negativ. 
Dreht man nun das Dreieck der Punkte (A B C) um den 
Mittelpunkt von (A — B) ^ 
durch einen gestreckten Win 
kel, so dass 
x = (ß + Y) A, 
+ ( K + y)B, - yC ti 
d. h.: der Punkt X liegt im 
Dreieck der Punkte (A B G) 
und im Parallelogramm der 
Punkte (AB CCf). 
Sei 
X { = ccA l -{- ßB y -f- yC, 
C 
X^ccB + ßA + yC. 
so ist auch: 
Also jedem Punkte im Dreieck (ABG) entspricht ein 
anderer im Dreieck (A t B y Cf). Letzteres heisst das Ergän 
zungsdreieck des ersteren; jede der beiden Breiecksflächen ist 
halb so gross als die Fläche des Parallelogramms. Da auch 
die Zahlen a und ß negativ sein können, so hat das Dreieck 
drei Ergänzungsdreiecke. 
Aus AX = ßAB -f- yAC folgt: 
AX = ß(AC + GB) + yAC = (ß -f y)AC -f ßCB. 
Andererseits ist: 
BX x =ß. BA + y BC; 
X,B=ß .AB — yBC = ß(AC + CB) — yBC] 
folglich: 
X, B == (ß -f- y) CB + ßAC. 
Der Punkt X liegt also in einem Dreieck, wenn im Aus 
drucke für AX die Coeflicienten der Glieder in bestimmter 
Reihenfolge abnehmen; in einem Parallelogramm ohne diese 
Bedingung. Im letzteren Falle kann man die Zahlen ß und