Grundzüge der Theorie der starren Magnete. 51
näher zn untersuchen, wird unsere nächste Aufgabe sein; zuvor
haben wir jedoch einen wichtigen allgemeinen Satz zu beweisen.
§ 35. Flächenintegrale und ihre Eigenschaften. Das Doppel
integral
S = J J 3 cos (3, 91) d S = J f i$ydS l )
über £ genommen, nennt man das Flächen integral des Vek
tors g über das Flächenstück S. Man erhält es, wenn man das
Produkt aus jedem Flächenelement in die zu ihm normale Vektor
komponente bildet, und dieses Produkt über die ganze Fläche
integrirt. Betrachten wir insbesondere das Flächenintegral über
eine geschlossene Fläche S'. Innerhalb des von letzterer um
grenzten Raumgebiets seien pu, 3// und 3* stetig und endlich, mit
Ausnahme einer Unstetigkeitsfläche F(x,y,z), an der jene Vektor
komponenten einen Sprung erleiden; ihre Werthe an der einen
Seite der Fläche seien einfach mit 3», 3'?/; 3^> die an der andern
Seite mit 3* > 3// > 3« bezeichnet.
Die positive Richtung der Normalen 91.? zu der geschlossenen
Fläche S sei immer die ihrem Innern zugewandte; ihre Richtungs
kosinus bezeichnen wir abgekürzt mit
ls = cos (9L, X), m« = cos (91?, Y), n. s = cos (91?, Z).
Ebenso setzen wir die Richtungskosinus der Normalen zu F
{f = cos (91/, X), nt/ = cos (91/, Y), n/ = cos (91/, Z).
Legen wir nun eine Hilfsgerade parallel der A-Axe, so wird
diese im allgemeinen die Fläche S‘ in einer geraden Anzahl von
Punkten schneiden müssen; nehmen wir zunächst an, es seien
deren nur zwei, und zwischen diesen beiden schneide die Gerade
auch die Unstetigkeitsfläche F. Verfolgen wir also diese Gerade
in der positiven Richtung, so wird sie zuerst in irgend einem
Punkte x = x l in die Fläche S’ eintreten, wo $ x = und
L dS' =dy dz;
1) Zur besseren Unterscheidung sind Linienintegrale als /, Flächen
integrale als //, Kaumintegrale als J/J angeführt, auch wenn für die
beiden letzteren scheinbar eine einfache Integration nach d S bezw. d V
vorgeschrieben ist; bei der Rechnung wird man doch thatsächlich stets
eine doppelte bezw. dreifache Integration vorzunehmen haben.
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