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Zweiter Abschnitt. 
Zweiter Abschnitt. 
Ueber den Inhalt geradliniger Figuren. 
I. Lehrsätze. 
175. Zwei Dreiecke sind gleichflächig, wenn zwei Seiten des 
einen einzeln zweien Seiten des andern gleich sind, der ein 
geschlossene Winkel in dem einen Dreieck aber das Supple 
ment von dem entsprechenden Winkel des andern Dreiecks ist. 
Beweis. Wenn man eine Seite eines beliebigen Dreiecks 
halbirt und den Halbirungspunkt mit der Gegenecke verbindet, so 
erhält man dadurch offenbar zwei Dreiecke, in denen zwei Seiten 
des einen einzeln zweien Seiten des andern gleich sind (die Hal- 
birungslinie haben sie nämlich gemeinschaftlich) und der ein 
geschlossene Winkel in dem einen das Supplement von dem ent 
sprechenden Winkel des andern Dreiecks ist; diese Dreiecke stehen 
nun auf gleichen Grundlinien und haben dieselbe Höhe, sie sind 
daher gleichflächig (84). 
176. Verbindet man in einem Paralleltrapez die Halbirungs- 
punkte der beiden parallelen Seiten, so wird durch diese Ge 
rade das Viereck halbirt. 
Beweis. Es sei (Fig. 158.) ABC!) das Paralleltrapez, EF 
die Verbindungslinie der Halbirungspunkte der parallelen Seiten; 
man ziehe BE und CE, so ist ABEF = AEFC (84) und A ABE = 
A EDO (84), mithin A BEF = A AEB = A EFC + A EDC oder 
ABFE = EFCD. 
Zusatz. Wenn das Paralleltrapez ein Antiparallelogramm 
ist, so steht die Halbirende senkrecht auf den beiden parallelen 
Seiten; denn alsdann ist AE = ED (Constr.), AB = CD (A. 37), 
und ABAE = AEDC (A. 38), also ABAE ^ AEDC (45), daher 
BE = CE; folglich ABFE^ ACFE (50), mithin ABFE = 
AEFC = E (20), also EF JL BC (7). 
177. Ein Paralleltrapez ist gleich einem Parallelogramme, das 
mit ihm zwischen denselben Parallelen liegt, und dessen Grund 
linie gleich der Geraden ist, welche die Halbirungspunkte der 
beiden nicht parallelen Seiten verbindet.