Fouriers Lehre. 
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Fouriers Lehre. 
A 2 = 20a: 3 - 624a: 2 + 414a: + 3164 
X 3 = 60* 2 - 1248a:+ 414 
A 4 = 120a: — 1248 
A 5 = 120 
Um in Betreff der positiven und ne 
gativen Vorzeichen alle nur möglichen 
Zahlenwerthe einzuschliefsen sei iW=±oo, 
so sind für x — M = + co die Werthe 
sämmtlicher 6 Functionen positiv; für 
x = M = — cc sind die Werthe der Glei 
chung und der geraden Differenziale sub- 
tractiv, die der ungeraden Differenziale 
additiv. Man hat demnach folgendes 
Schema: 
r * = + 00 
für * = — oo 
A = + 
A = — 
A, = + 
A t = + 
a 2 = + 
A, = — 
x,= + 
A 3 = + 
a 4 = + 
*4=- 
* 5 = + 
A s — + 
Man sieht, dafs diese Ordnung der auf 
einander folgenden Vorzeichen bei jeder 
geordneten auf Null reducirten Gleichung 
Vorkommen mufs; nämlich dafs für*=+<» 
die Werthe der Gleichung und deren n 
Differenziale n Folgen der Vorzeichen 
und für x = — so, n Wechsel der Vor 
zeichen abgeben. 
Ist das erste Glied x n subtractiv, so 
sind für x = + oo sämmtliche Vorzeichen 
subtractiv. 
2. Diese n Zeichenwechsel bei einer 
Gleichung vom nten Grade gegen die 
voranstehenden n Folgen sind nun nach 
Fourier die Ursache, dafs zwischen *= + oo 
und x = — co, also dafs überhaupt n Wur 
zeln für die Gleichung existiren. 
Setzt man in dem Beispiel x= 10, so 
erhält man 
A=- 280200 
X, =- 107200 
A 2 = - 35096 
X„ = - 6066 
X, = - 48 
A 5 = + 120 
Die ersten 5 Functionen geben 4 Zei 
chenfolgen, die 5te und die 6te geben 
einen Zeichenwechsel. Es sind also 4 
Folgen und 1 Wechsel in diesem Bei 
spiel. Da nun für x = + co 5 Folgen 
existiren, so wird geschlossen, dafs zwi 
schen x = 10 und x = oo eine Wurzel der 
Gleichung existirt. 
Dies ist nun freilich schon aus dem 
subtractiven Werth von A zu schliefsen. 
Denn wenn für *=oo, X additiv und 
für x = 10, X subtractiv wird, so mufs 
III. 
zwischen beiden Werthen ein x' existi 
ren , für welches X = 0 wird, also eine 
Wurzel x' und es geht noch nicht her 
vor, dafs die Fourier’sche Lehre Vortheile 
darbietet. 
3. Setzt man um der Wurzel näher 
zu kommen x = 100, so hat man X = 
+ 4884663000. Man weifs also, dafs die 
Wurzel zwischen 10 und 100 liegt; allein 
man weifs nicht, ob zwischen x = 100 
und x = oo , d. h ob über x = 100 noch 
eine Wurzel für die Gleichung existirt 
oder nicht, weil die Uebereinstimmung 
der Vorzeichen (+) hierbei nichts ent 
scheidet. 
Denn setzt man x = 3, so erhält man 
für X den Werth + 9724. Nun ist der 
Werth von X für x = + oo ebenfalls + 
und gleichwohl existirt zwischen x = 10 
und x — 100 eine Wurzel. 
Hier nun gibt die Fourier’sche Lehre 
bestimmte Auskunft. Nämlich für x 
= 100 ist 
A = + 4884663000 
A, = + 294384860 
X 2 = + 13804564 
A s = + 475614 
A 4 = + 10752 
A 5 = + 120 
Da nun bei x = 100 find x = + oo kein 
Zeichenwechsel statt findet, so ist nach 
Fourier auch über * = 100 keine Wur 
zel der Gleichung vorhanden. 
Setzt man x = 0, so erhält man 
A = - 3000 
A, =-1540 
A 2 = + 3164 
A, = + 414 
A 4 = - 1248 
A s = + 120 
Man findet hier 2 Zeichenfolgen und 
3 Wechsel; da nun für x = oo 5 Folgen 
existiren, so existiren nach Fourier zwi 
schen x = 0 und x = + oo oder nach dem 
vorigen Satz zwischen x = 0 und x— 100 
drei Wurzeln; und da für x— 10 vier 
Folgen und 1 Wechsel statt haben, so 
existiren zwischen x = 0 und *=10 zwei 
Wurzeln, die dritte liegt demnach zwi 
schen * = 10 und *.= 100. 
Da ferner bei * = — co fünf Zeichen 
wechsel Vorkommen, so hat die Gleichung 
zwischen * = 0 und * = — oo noch (5 — 3) 
= 2 Wurzeln. 
4. Nimmt man nämlich für * zwei 
Werthe A und B, zwischen welchen kein 
Werth von * weder X noch eins der 
Differenziale zu Null macht, so müssen 
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