Fouriers Lehre. 
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Fouriers Lehre. 
Haben nun f_ m _ x C und f m+x C gleiche Vorzeichen, etweder + oder —, so ent 
stehen folgende Zeichenreihen 
X — 
X — 
• • • • x, n —| X m X m 
C + z 
+ 
+ 
+ 
C + z 
- - - 
C 
+ 
0 
+ 
c 
0 
C — z 
+ 
— 
+ 
C-z 
+ 
wobei zu bemerken, dafs für — X m +l = - f m +1 C auch z X (- f m — ~ 
und - a (- f m +1 C) = + +1 C wird. 
Die 3 Differenziale für a = C + a haben also 2 Zeichenfolgen, die 3 Differen 
ziale für x = C — z haben 2 Zeichenwechsel und diese gehen bei dem Durchgang 
bei a— C durch den Werth 0 verloren. 
Sind die Vorzeichen von und /•»+ i C ungleich, tfc oder =f= so entsteht 
X = 
x, n -V ;>( 
X = 
X m 
■^7tl +1 
C + z 
+ 
— — 
C + z 
+ 
+ 
c 
+ 
0 - 
c 
0 
C-z 
+ 
+ 
C-z 
— — 
+ 
In beiden Fällen haben die drei Diffe 
renziale für x = C + a und x = C— a einen 
Wechsel und eine Folge und es ist kein 
Zeichenwechsel verloren gegangen. 
Wenn also ein Differenzial = 0 wird, 
so gehen entweder 2 Zeichenwechsel oder 
es geht keiner verloren, und dies findet 
für jedes Differenzial statt, wenn mehrere 
derselben, die auch aufeinander folgen 
können, zu Null werden. 
8. In einer Gleichung können höhere 
Werthe von x nie mehr Zeichenwechsel 
liefern als niedrigere: für x — oo ent 
stehen nur Folgen, für x — — oo nur Wech 
sel von Zeichen. Wird für einen Werth 
von x die Gleichung X = 0, so geschieht 
dies immer mit Verlust eines Zeichen 
wechsels. Bei gleichen Wurzeln werden 
immer so viele hintereinanderliegende 
Funtionen von X ab gerechnet zu Null 
als die Anzahl der gleichen Wurzeln 
beträgt. 
Hat eine Gleichung vom nten Grade 
n reelle Wurzeln, so kann kein Zeichen 
wechsel verloren gehen, ohne dafs zwi 
schen den dazu gehörigen Grenzen (A 
und B) eine Wurzel sich befinde. 
Hat eine Gleichung vom nten Grade 
n — m reelle Wurzeln, so gehen durch 
dieselben n — rn Zeichenwechsel verloren, 
und m gehen verloren, ohne dafs dabei 
X = 0 wird, also dadurch, dafs Differen 
ziale zu Null werden. Da dies immer 
nur paarweise geschehen kann, so mufs 
m eine gerade Zahl sein und es kann in 
einer Gleichung mit lauter reellen Glie 
dern nur eine gerade Anzahl von un 
möglichen Wurzeln sich befinden. 
9. Beispiele 1. In dem ad 1 gewähl 
ten Beispiel: 
X = x 5 — r o2x x -f G9.r 3 -f 1582a: 2 — 1540a* 
= 3000 = 0 
hat man folgendes Schema: 
X = 
X 
*3 
*3 
*7 
+ ca 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
100 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
51 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
50 
0 
+ 
+ 
+ 
+ 
49 
10 
: 
+ 
+ 
+ 
+ 
G 
5 
0 
+ 
— 
2 
0 
+ 
+ 
- 
- 
1 
- 
+ 
+ 
- 
- 
0 
- 
+ 
+ 
- 
-1 
0 
- 
+ 
+ 
~ 
-2 
+ 
- 
- 
+ 
- 
-5 
0 
+ 
- 
+ 
- 
— 00 
— 
+ 
— 
+ 
— 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
Von £c = -foo bis x = 51 bleiben die 
selben Zeichenfolgen, es existirt also in 
diesem Interwall keine Wurzel der Glei 
chung. Für x — 49 ist ein Zeichenwech 
sel mit 4 Zeichenfolgen, für x = 10 ent 
stehen 4 Folgen und ein Wechsel, zwi 
schen a; = 10 und a; = 49 ist also keine 
Wurzel. Da aber x — 51 fünf Folgen, 
x = 49 und .r=lO vier Folgen hat, so 
existirt zwischen x — 10 und x = -f oo eine 
aber nur eine Wurzel und diese ist = 50. 
Nimmt man das Intervall für a = 10