Fouriers Lehre. 
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Fouriers Lehre. 
bis x = 1 oder x=0, so hat man bei 
x — 10 ein Wechsel, bei x = 0 oder 1 
drei Wechsel; es existiren also in die 
sem Intervall entweder 2 Wurzeln oder 
es gehen auch Differenziale in den Werth 
= 0 über. Um dies zu finden theilt man 
das Intervall: für x — 5 erhält man nun 
2 Wechsel, bei x - 10 ist nur 1 Wechsel 
also liegt ganz bestimmt zwischen 5 und 
10 eine Wurzel, und diese ist =6. Aus 
demselben Grunde ist zwischen 0 und 5 
eine Wurzel (2) vorhanden. 
Da für x — 0 drei Wechsel, für x —— <x> 
fünf Wechsel vorhanden sind, so existi 
ren entweder 2 negative Wurzeln oder 
es gehen Differenziale verloren. Durch 
Theilung des Intervalls findet man, dafs 
2 reelle Wurzeln (- 1 und — 5) existiren. 
10. Folgendes Beispiel 
[(« 2 - 3* + 4) (* - 3) (x + 1)] 
hat 2 unmögliche Wurzeln. Es ist 
X = x 4 - 5x 3 H- 7a; 2 + x - 12 = 0 
X, = 4a; 3 — 15a; 2 + 14a; + 1 
X 2 = 12a: 2 — 30a; -j- 14 
X. = 24a; - 30 
V, = + 24 
Es entsteht 
für X = 
X 
x, 
*3 
X, 
*4 
— 00 
+ 
— 
+ 
- 
+ (24) 
0 
-(12) 
+ 0) 
+ (14) 
-(30) 
4(24) 
Da für x = 0 ein Zeichenwechsel we 
niger ist als für x — — co, so hat die 
Gleichung nothwendig eine negative Wur 
zel, die übrigen 3 Wurzeln sind positiv, 
wie dies auch x — 0 mit 3 Zeichenwech 
seln angibt, indem x — + oo vier positive 
Folgen liefert. 
Für x = 1 entstehen die Zeichen 
-(8) +(4) -(4) -(6) +(24) 
in 3 Wechseln, so dafs zwischen 0 und 1 
keine Wurzel liegt. 
Für x = 10 entstehen die Zeichen 
+ (5698) + (2641) + (914) + (210) + (24) 
so dafs keine Wurzel existirt, die > 10 
ist, die 3 Wurzeln also zwischen 1 und 
10 liegen. Man erhält ferner 
für x = 4 : + 40 + 73 + 86 + 66 + 24 
= 2:- 6+ 1+ 2 + 18 + 24 
hierzu =1:— 8+ 4— 4— 6 + 24 
x = 4 stimmt in den Zeichen mit x— oo, 
also gibt es keine Wurzel > 4. Für x — 2 
entsteht ein Wechsel, mithin liegt eine 
Wurzel zwischen 2 und 4. Zwischen 1 
und 2 für x liegen also entweder 2 Wur 
zeln oder es existirt keine reelle 
Wurzel. 
11. Das Verfahren um zu erkennen, ob 
Wurzeln vorhanden sind oder nicht, ist 
nach Fourier etwas weitläufig und soll 
mit den Beweisen für die Richtigkeit fort 
gelassen werden. Hat man das Intervall 
auf möglichst enge Grenzen gebracht, 
wie es auch von Fourier geschieht, so 
ist es in vielen Fällen am einfachsten, 
wenn man die Differenziale ignorirt und 
sich einzig mit der gegebenen Gleichung 
beschäftigt. 
Man thut wohl, das Intervall auf eine 
Einheit grofs zu bringen, wie in dem 
vorliegenden Beispiel, wo die beiden Wur 
zeln zwischen x — 1 und x — 2 angezeigt 
sind. Nun setze man a; = l + «, wo « 
einen positiven ächten Bruch bedeutet 
und ermittle durch « den Werth von X. 
Man erhält 
x i — (1 + «) 4 = 1 + 4« + 6« 2 + 4k 3 + « 4 
— 5a; 3 = — 5 (1 + «) 3 = — 5 — 15« — 15« 2 — 5« 3 
+ 7a; 2 =+7(l + «) 2 = + 7 + 14« + 7« 2 
x = 1 + « 
-12 = -12 
X = —8+4«— 2«2 — « 3 +« 4 
Der gröfste Werth, den « annehmen von x, der die Function Ä" = 0 macht, 
kann, ist = 1, mithin der gröfste negative also auch keine Wurzel, woraus hervor- 
Werth von _Y = — 6, nämlich für a; = 2; geht, dafs die Gleichung 2 unmögliche 
für jeden kleineren Werth von « bleibt (imaginäre) Wurzeln hat. 
X zwischen — 6 und — 8 und es existirt 12. Man soll aus folgender gegebenen 
mithin zwischen 1 und 2 kein Werth Gleichung die Wurzeln finden: 
X= x 5 - 21a; 4 + 43a; 3 - 485a; 2 + 450a; + 1000 = 0 
Es ist X l = 5a; 4 — 84a; 3 + 129a; 2 — 970a; + 450 
V,= 20a; 3 - 252a: 2 + 258a: -970 
X 3 = 60a: 2 - 504a: + 258 
X t = 120a; - 504 
X i = 120