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Füllung. 124 Fünfeck. 
c cos ce — c • cos (convex Z DCH) = c • cos (concav Z DCH) = cos CDG = -f DG 
d cos de = d • cos (convex Z EDJ) = d • cos (concav ^ EDJ) = cos Ü/L4 = — ED’ 
Mithin 
« cos ae + 6 cos 6c -j- c cos ce -f -f t? cos de = — Aß' -f BF-\- DG — Fß' = AE = c 
3. Bezeichnet man die Umfangswinkel 
mit deren Eckpunkten A, B, C, D, E 
so hat man 
Z<*e = A; cos ae = cos A 
ferner ist Z FBA + ZBAE = 21i 
oder ZB-Zbc + ZA = 2E 
hieraus z = A + B — 2R 
und cos be ~ cos {A-\-B — 2R) 
= — cos (A -f B) 
Noch ist ZCBF +ZC + ZCDG = 2Ii 
oder z 6c + ZE — Zcc = 2R 
oderr A + B-2R + C-Zce = 2R 
woraus Z ce = (A -f B -f C) — 4F 
und cos ce = cos [(A + B + C) — 4ß] 
= + cos (A + ß + C) 
endlich ist Zde — — E—(A -fiß-f-C-f-ß)-6ß 
folglich cos de = — cos (/1 -f ß -f C+ D) 
Man hat daher auch 
e = « cos A — 6 cos (A -f- ß) + c cos (A -j- ß -f C) 
— d cos (A -f- B -f C + D) (2) 
steht in welchem sie sich ohne Abwei 
chung ergiebt. 
Füllung eines Gefäfses, einer Schleu 
senkammer mit Wasser, eines leeren 
Raums mit Luft unter gegebenen Bedin 
gungen, s. Inhaltsverzeichnifs und Sach 
register des lten Bandes, pag. 450. 
Fünfeck ist eine ebene von 5 geraden 
Linien (Seiten) begrenzte Figur. Aus 
jeder Ecke sind 2 Diagonalen möglich, 
die das Fünfeck in 3 Dreiecke zerlegen. 
Der Winkel, von dessen Ecke (c) aus die 
Diagonalen gezogen werden wird in 3 
Theile, jeder der beiden Winkel nach 
deren Ecken (A, E) hin sie gezogen wer 
den, in 2 Theile getheilt, die beiden an 
deren Umfangswinkel (ß, D) bleiben un 
geteilt. Die 5 Umfangswinkel des Fünf 
ecks sind also in Summa die Umfangs 
winkel von 3 Dreiecken und da in jedem 
Dreieck die 3 Umfangswinkel zusammen 
= 2 rechten Winkeln sind, so ist die 
Summe der Umfangswinkel jedes Fünf 
ecks = 6 Rechten. Daher können in einem 
Fünfeck höchstens 2 convexe Winkel 
statt finden (s. Fig. 650 und 651). 
Jedes Dreieck erfordert zu seiner Ver 
zeichnung 3 Bestimmungsstücke, die 3 
Dreiecke also, in welche das Fünfeck 
zerlegt wird, erfordern zusammen 9 Be- 
stimmungsstiicke. Ist aber das mittlere 
Dreieck (CAE) bestimmt, so hat dieses 
Dreieck für jedes der beiden anliegenden 
Dreiecke in der Diagonale schon ein Be 
stimmungsstück, folglich bedarf jedes der 
beiden Seitendreiecke nur noch 2 Be 
stimmungsstücke, das Fünfeck im Gan 
zen also 3 + 2 X 2 = 7 Bestimmungsstücke. 
und e mit be, den Z zwischen Cß = c 
und e mit ce, den Winkel zwischen DE 
— d und e mit de jedoch so verstanden 
dafs man immer einerlei Richtung der 
Seiten gegen die feste Seite AE — e zu 
beobachten hat. 
Nimmt man für die Seite a die Rich 
tung BA, also der spätere Buchstabe 
voran, so ist die analoge Richtung von 
6 = CB, die von c = DC von d = ED. 
Beide letzte Richtungen treffen die Seite 
e nicht und damit dies geschehe weil 
Winkel gebildet werden müssen, so denkt 
man sich in C- und D Parallelen CH, 
DJ mit c. 
Ist nun für die Ecke A der Z BAE = ae, 
so ist ZCBF = be, der links liegende 
erhabene ZBCH — ce und der links lie 
gende erhabene ZEDJ = de. In diesem 
Sinne genommen ist 
e — a cos ae + 6 cos 6e-f ccos ce-f d cosde (1) 
denn fällt man auf die verlängerte AE 
die Lothe BB\ CC', DD' und zieht die 
*mit e Parallelen BF und DG bis in die 
Normale CE so ist 
Fig. 646. 
2. Bezeichnet man den Winkel, den 
die Seite AB = a mit der Seite A/2 = e a cos ae = a cos BAE = — AB' 
macht mit ae, den Winkel zwischen BC—b 6 cos be = 6 cos CBF= -f BF