4. Bezeichnet man nach Fig. 647 die 
nach einerlei Richtung genommenen 
Aufsenwinkel der Umfangswinkel mit «, 
y, d, t] so ist 
4 = 2ß - « 
11 = 211 - ß 
C = 211 — y 
D = 2ll- <S 
E = 211 - t] 
Man hat demnach nach Formel 2: 
e = a cos (2R — «) — b cos [4ß — (« -j- ßj\ -f- c cos [6ß — (« + ß + }')] 
— d cos [SR — (« -j- ß -f y -f ())] 
oder redncirt 
e = — a cos « — b cos (a + ß) — c cos (« + ß -f- y) — d cos (rc + ß + y + d) 
oder —e = a cos « + b cos (« + /?)-{- c cos (« + ß + y) + d cos (« + ß + Y + (3) 
Beispiel. 
Es sei .4=110°, also ae= 110° und a= 70° 
, R=120°, also be = 50° und ß= 60° 
C = 100°, also ce = — 30° und y = 80° 
1)= 80°, also de = — 130° und d , = lQ0° 
E=130°, also ee = —180° und = 50° 
Nach Formel 1 ist e = a cos 110° + b cos 50° + c cos (- 30°) + d cos (— 130°) 
Nach Formel 2 ist e = a cos 110° — b cos 230° + c cos 330° — d cos 410° 
Nach Formel 3 ist — e = a cos 70° + b cos 130° -f c cos 210° + d cos 310° 
Reducirt man auf Winkel unter 90° a-sin ae = a>sinBAE=BB' 
so erhält man aus allen 3 Formeln b-sinbe=b'SinCBF=CF 
e = —a cos70°-f b cos 50°-f ccos 30°— dcos 50° 
5. Es ist in jedem Fünfeck: 
a-sin ae+ b-sin be+ c-sin ce + d-sin de = 0 (4) d-sin de = d-sin (- DEA) = - d • sin DEA 
denn nach Fig. 646 und No. 2 hat man = - DD 
c• sin ce=c-sin (— CDG) = — c - sin CDG 
= — CG 
Mithin a sin ae-\-b sin be -f c sin ce -f- d siti de = BB' -j- CF —CG — DD' = 0 
6. Um diese Formel durch die Umfangswinkel A, B, C, D auszudrücken hat 
man nach No. 3 
a sin A + b sin (4 + ß — 2 ß) + c sin (4 -fB + C — 4 ß) + d sin (4-f-ß + C'-f/> —6ß) = 0 
und reducirt 
a sin A — b sin (4 -f B) + c sin (4 + B + C) — d sin (4 + B + C + D) = 0 (5) 
7. Um diese Formel durch die Aufsenwinkel a, ß, y, d auszudrücken hat man 
nach No. 4 
a sin (2 ß— «) — 6 sin [4 ß— (« +/?)] + c si>i[6 ß — (« + ß + yj] — d sin [8 ß — (« Aß + y + d)] = 0 
und reducirt 
a sin a + b sin (a + ß) f c sin (« -f ß -J- y) + d sin (a -f ß + y -f d) = 0 (6) 
Nach dem Beispiel No 4 hat man 
aus Formel 4 « sin 110° -)- b sin i0° -f- c sin (— 30°) + 4 sin (— 130°) 
aus Formel 5 a sin 110° — b sin 230° c sin 330° — d sin 410° 
aus Formel 6 « sin 70° + l> sin 130° + c sin 210° + d sin 310° 
Die Winkel auf den 1 Quadrant reducirt gibt übereinstimmend 
a sin 70° + b sin 50° — c sin 30° — d sin 50° 
Aus den vorstehenden 2 Formeln (1 bis 3) und (4 bis 5) lassen sich nun For 
meln finden, aus welchen man bei gegebenen 7 Bestimmungsstücken die fehlenden 
3 Stücke finden kann.