Fünfeck. 
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Fünfeck. 
a sin a -\-b sin (a + ß) -f d sin (« -f ß + y + d) 
sin (« + ß + y) 
Sind c und e gefunden, so erhält man J aus Formel 20 bis 22. 
Beispiel (das vorige pag. 128). 
Gegeben a = 20, b = 25, d = 35° 
z ¿ = 156° 57'; B — 110°; C = 90°; D = 120°; E = 63° 3' 
Man findet aus den Formeln 23 bis 25 
20 • sin 20° 3' + 25 sin 93° 3’ - 35 • sin 63° 3' 
c_ —'sin 3° 3’ - + 3 ° 
Diesen Werth in Gleichung (1 bis 3) gesetzt gibt reducirt: 
- e = 20 • cos 23° 3' - 25 cos 86° 57 P - 30 • cos 3° 3' - 35 cos 63° 3' 
(25) 
woraus e = 28,75 
14. Es sind 4 Seiten, z. B. a, b, d, e und 3 Winkel B, C, D oder ß, y, <5 
gegeben, so dafs die beiden unbekannten Winkel A, E oder «, an einer gege 
benen Seite e liegen. 
Aus Gleichung 7 hat man folgende geordnete Gleichung für die Unbekannte c: 
c 2 — 2c [rt cos ac + b cos bc -\- d cos cd] + « 2 + + d 2 — e 2 — 2 (ab cos ab 
+ ad cos ad + bd cos bd) — 0 (26) 
oder aus 8 
e 2 + 2c [« cos (B -f C) — b cos C — d cos D] + a 2 + 5 2 -f d 2 — c 2 — 2ab cos B 
- 2ad cos (B + C+D) + bd cos (C + D) = 0 (27) 
oder aus 9 
c 2 + 2c [« cos (ß + y) + b cos y -f d cos d] -f aß -(- b 2 -f- « 2 — e 2 -f 2ab cos ß 
+ 2ad cos (ß + y + d) + 2bd cos (y + d) = 0 (28) 
Ist c gefunden, so erhält man aus For 
mel 10 bis 18 die Winkel A und E. 
15. Es ist nur eine Seite gemessen, 
z. B. AB = a und sämmtliche Winkel 
von A und von B aus mit den beiden 
Seiten AE und BC und mit den nach 
C, B und E visirten Diagonalen; das Fünf 
eck zu bestimmen. (Feldmesser-Aufgabe.) 
Man theile das Fünfeck in die 3 Drei 
ecke AHE, BDE und BCD, so hat man 
aus dem Art. „Dreieck“ pag. 331, For 
mel 35 und 38 
die Seite BE = b a • (j) 
Fig. 648. 
den Inhalt des A ABE = \a? 
sin ABE • sin BAE 
sin AEB 
Eben so BD = c = b 
sin BED sin BAE sin BED 
sin BDE sin AEB sin BDE 
C2) 
und A BDE = — • sin DBE> 
sin BED 
sin BDE 
Aus den nur bei A und B zu messen 
möglichen Winkeln lassen sich aber 
die Z.DAE und BDE nicht berechnen, 
daher können dieselben nicht in die For 
mel aufgenommen werden. 
Nun hat man aber 
, BD = 
c= 
sin BAD _ 
a ÄnADB~ b ' 
sin BED 
sin BDE 
(3) 
Setzt man für diesen letzten Werth 
den ersten in die eben erhaltene Formel 
für das A BDE so hat man 
A BDE=-~ 
• sin DBE • 
sin BAD 
(l _ 
sin ADB 
Setzt man hierein den Werth von. b aus 
Gleichung 1, so ist 
„ ni , „ „ sinBAD'sinBAE . •_ 
Endlich ist 
III. 
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