Fünfeck. 
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Fünfeck, regelmäfsiges. 
A*CD=W>.sinCBD. S £™ C D 
wo wiederum die beiden Winkel BDC 
und BCD nicht zu berechnen sind. Man 
hat aber aus A ABC 
,. Q ., Dr , sinBAC 
die Seite BC = a - 
sm ACB 
und BC : (BD = c)~ sin BDC : sin BCD 
sin BDC sinBAC 
woraus c- -BC=a--— 
sin BCD sin ACB 
Diesen Werth in die Formel für A BCD 
gesetzt gibt 
A X,r<n 1 • r< n n sinBAC 
ABCD = kc sm CBD • a • ——— 
sin ACB 
und aus Gleichung 3 den Werth von c 
entnommen 
Ai>nn 12 sin BAC-sinBAD . 
ABCD=$a 2 • • AnD • AnD • sm CBD 
sinACB-smADB 
Es ist demnach der Inhalt des Fünfecks 
[ 5 4 
Lsi 
„ , sinBAC-sin BAD . _ n sin BAD- sin B AE . 
J = +a 2 | -—. „ „—— -———^x sm Dߣ 
sin ACB • sin ADB 
sin ADB • sinAEB 
sin BAE . . „d ... 
+ ,l^EÄ Xi ”‘- 4££ J <5) 
In dieser Formel für J ist £a 2 multi- 
plicirt mit dem 
lten Klammerglied der Inhalt von A CBD 
2ten „ „ A DBE 
3ten „ * AABE 
Der in der Klammergröfse befindliche 
Z ACB ist = 180° - Z ABC - Z.DAC 
ZADB „ =180° - Z.ABD- ¿BAD 
/_AEB „ =uo°-Z.ABE-Z.BAE 
Die Seiten und Diagonalen des Fünf 
ecks sind übrigens leicht zu finden: 
Seite BC und Diagonale AC aus A ABC; 
gegeben eine Seite a und 2 anliegende 
Winkel. 
Diagonalen AD und BD aus A ABD; ge 
geben a + 2 anliegende Winkel. 
Seite CD und Z C aus A BCD; gege 
ben BD, BC und der eingeschlossene 
Winkel. 
Seite AE und Diagonale BE aus AABE-, 
gegeben a -f- 2 anliegende Winkel. 
Seite DE und ¿E aus AADE; gege 
ben AE, AD und der eingeschlossene 
Winkel. 
Der Umfangswinkel CDE ist 
= 540° -(A + B + C+E) 
10. Das zu berechnende auf dem Felde 
befindliche Fünfeck kann einen auch 2 
convexe Winkel haben; je nachdem dar 
aus die Gestalt desselben hervorgeht sind 
die Klammerglieder positiv oder negativ 
zu nehmen. 
Bezeichnet man die Klammerglieder in 
Formel 5 der Reihe nach mit A, Y, Z 
so ist 
für Fig. 648: J= (X+Y+Z) 
für Fig. 649: J= }a\X - Y + Z) 
für Fig. 650: J = *a 2 (A + Y - Z) 
für Fig. 051: J = ±a a (- X + Y — Z) 
Fig. 649. 
Fünfeck, regelmäfsiges. 
Euklid (IV, 11) enthält die geometrische 
Construction des regulären Fünfecks im 
Kreise, nachdem der Satz vorher die Cou- 
struction eines gleichschenkligen Dreiecks 
zeigt, in welchem jeder Winkel an der