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Function. 
y — fx — j/et 2 + x 2 
gibt durch Umformung 
x — qx = \/y z — a' 2 
Ist eine Function durch eine nach Po 
tenzen der Urveränderlichen fortlaufende 
Reihe gegeben, so wendet man die un 
bestimmten Coefficienten an: die Function 
s-f a: 2 4'* 3 + a:4 + '-" 
umzukehren hat man y — 1 für x = 0. 
Also setzt man 
1) 4 + 
* = Ä (y- 1) + B (?/ - 1) 2 + C(y - 1)3 + D(y 
hieraus hat man 
x 2 = Ä 2 (y - l) 2 + 2AB (y - l) 3 + (ß 2 + 2AC) {y - l) 4 + .. 
x 3 = -f A 3 {y — l) 3 -f 3A 2 B (y — l) 4 +. . 
” 4 ~ + A 4 (y — l) 4 +.. 
Die Werthe von x, x 2 , x 3 , a; 4 .... in die Function gesetzt und auf 0 redu- 
cirt gibt 
0 = (A — 1) (y — 1) + (A 2 + B) (y - l) 2 + (C + 2AB+A 3 ) (y - l) 3 
+ (DA ß 2 + 2AC + 3A 2 B + A 4 ) (y - l) 4 + (2BC + 2AD + 3AB 2 + A 2 C + A 5 ) (y - l) 5 
Hieraus A — 1 = 0 
Ä 2 + B - 0 
C + 2 AB + A 3 = 0 
D + ß 2 + 2 AC+ 3 A 2 ß + A 4 = 0 
woraus /1 = 1 
ß = - 1 
C = + l 
D = - 1 
mithin die umgekehrte Function 
x = (y— !)-(*/ ~1) 2 + (y -l) 3 -(j/-l) 4 +... 
Beispiele von Umkehrung transcenden- 
ter Functionen durch unbestimmte Coef 
ficienten geben die Art. Cosecante, No. 12, 
pag. 138; Cosinus, No. 16, pag. 143; Co 
sinus versus, No. 4, pag. 146; Cotangente 
No. 11, pag. 149. 
Functionalgröfse, s. v. w. urvariable 
Gröfse, s. u. Function. 
Functionalzeichen ist das Zeichen F, 
f, <()... für Function vor der Urvariablen 
oder mehreren derselben als 
Fx-, f (x, s); <( (z, m) .... 
Functionenlehre, die Lehre von den 
Functionen, Aufstellung des Begriffs, Ein- 
theilung derselben, ihre Behandlung und 
Umformung; überhaupt die Rechnung mit 
Functionen. Der Begriff Function und 
die Eintheilung der Functionen ist in 
dem Art. Function angegeben, der Un 
terschied zwischen der Rechnung mit 
Functionen und der Buchstabenrechnung 
und Algebra in dem Art. Analysis. Die 
Umformung oder Verwandlung einer F. 
geschieht vorliegenden Bedürfnissen ent 
sprechend; unter diesen ist eine der wich 
tigsten, die Umkehrung einer F. in dem 
Art. Function gezeigt. 
2. Eine gegebene gesonderte alge 
braische Function (s. d. Bd I., pag. 44), 
die nach Potenzen der Urveränderlichen 
geordnet ist, wird nach der Lehre von 
den algebraischen Gleichungen in ein 
Product verwandelt: 
Bd. I., pag. 57 ist die Gleichung auf 
gestellt 
a: 5 - 4a: 4 -18 6a> 3 + 91 6íc 2 + 4 67 3a:-17160 = 0 
Die Wurzeln derselben sind gefunden 
-f- 3; —{- 8; -(-11; — 5; — 13 
Setzt man den Ausdruck = y statt = 0, 
so ist y eine gesonderte algebraische Func 
tion und sie ist nach der Lehre von den 
algebraischen Gleichungen in das Pro 
duct verwandelt 
y — {x— 3)(a: — 8)(a; — 11) (a:-(-5) (a:-}-13) 
Eben so wird die dort befindliche auf 
O reducirte Gleichung als Function von 
y genommen: 
y — x h — 3a: 4 — 8a: 3 -(- 24a; 2 — 9a: -(- 27 
= (a: — 3) (x - 3) (x+ 3) (a;-]/^I)(*+j/^l) 
3. Ist die algebraische Function unge 
sondert und man will eine gesonderte 
zwischen y und x erhalten, so verfährt 
man wie- bei der Umkehrung der Func 
tion, z. B. die Function (Klügel 2, 
pag. 301) 
y 3 + 4 ya ,2 _ 5 yt -f 7?/ + 24a: - 3 = 0 
Setzt man 
y = A A Bx-\- Cx‘ 2 -\-Dx 3 -\-Ex i -\-Fx 5 -{-Gx 6 -\-.. 
so ist