Ganz 
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Gebrochene Linie. 
aus der Gesammtsumme seiner Theile 
besteht. Der 9te Grundsatz des Euklid 
heilst: das Ganze ist gröfser als sein 
Theil; andere Lehrbücher haben als Grund 
satz: das Ganze ist seinen Theilen zu 
sammengenommen gleich. 
Eine Zahl heilst ganz, wenn sie aus 
einer oder mehreren ungeteilten Ein 
heiten zusammengesetzt ist; so auch die 
Bezeichnung: dekadische Ganze für 
dekadische Zahlen im Gegensatz zu de 
kadischen Brüchen. Ganze Function 
s. u. algebraische Function. 
Gase. Das Gesetz deren Ausdehnung 
nach Rudberg’s Versuchen tabellarisch, 
s. Bd. I., pag. 213. Unter dem Art. 
Ausfluls der Luft, Bd. I., pag. 230 
sind besonders für andere Gase als Luft 
die Gesetze beim Ausfluls der Gase aus 
Oeffnungen No. 12, pag. 233 zusammen 
gestellt. Dieselben beim Einströmen von 
Gas s. No. 17, pag. 235. 
Gaufs’sche Gleichungen. Es sei ne 
benstehendes Kugeldreieck von den Sei 
ten a, b, c und den diesen gegenüber 
liegenden Winkeln «, ß, y, so sind die 
Gleichungen 
Fig. 652. 
1) sin 4 (a -f b) sin -\y — cos £ (« — ß) sin 
2) siti 4 (« — b) cos \y = sin 1- (a — ß) sin 4c 
3) cos 4 (« + b) sin — cos 4 (« -f /9) cos \c 
4) cos £ {a — b) cos %y = siti 4 (« -f ß) cos fcc 
Aus deren Verbindung mit einander 
erhält man die fehlenden Stücke des 
Dreiecks, wenn entweder 2 Seiten und 
der von ihnen eingeschlossene Winkel 
oder 2 Winkel und die eingeschlossene 
Seite gegeben sind. 
Sind z. B. a, b, y gegeben, so hat man 
durch die Division von Gl. L durch 2: 
cot 4(«- 
= r,'9r 
sin 4 (a — b) 
durch die Division von Gl. 3 durch 4: 
cos + (« + b). 
cot 4(a+/9) = . , ( 9 Y 
cos £ (a — b) 
Da nun die Cotangenten von 4 (« — ß) 
und 4 (« + ß) bekannt sind, so sind es 
auch die Winkel 4 (« — ß) und 4 (« -f ß) 
Setzt man nun 4 (« + ß) = 6 
und £ (a — ß) = e 
so ist a = d + e 
und ß = d — £ 
Eben so findet man, wenn «, ß und c 
gegeben sind, durch Division von Gl. 1 
durch 3: 
tg 4 (« + b) = 
cos 4 (ß — ß) 
tgi° 
cos i (« + ß) 
durch Division von Gleichung 2 durch 4: 
sin 4 (« — ß) 
tg Ha-b) 
sin 4 (a + ß) 
tg 4c = D 
Ist nun gefunden 4 (« + &) = 
4 O — b) = e 
so erhält man a = d -f e 
b — d — e 
In dem Art.: Kugeldreieck wird 
die Richtigkeit der Gaufs’schen Gleichun 
gen erwiesen werden. 
Gebrochene Linie. 
1. Die Parallellinien AX, FY sind durch 
eine gebrochene Linie ABCDEF mit ein 
ander verbunden. Bezeichnet man die 
Winkel auf einer Seite der gebrochenen 
Linie, wie sie durch kleine Bogen ange 
geben sind, mit A, B, C, D, E, F, zieht 
die mit AX und FY parallelen BB\ CC, 
DD', EE’, so hat man: 
ZA + ZABß’= 2R 
ZCBB’ + Z BCC' = 2/?, 
also ZA + Zß + Z FCC’ = 4Ä 
Hierzu kommt 
der gestreckte Z C’CC 0 = 2R 
ZDEE' + Z.FDD’ oder 
zdee’+zedc+zc°cd = 2 R 
zusammen = 8ß