Goniometrie. 
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Goniometrie. 
Wenn also in 2 gleichschenkligen Drei 
ecken die beiden Paar Schenkel einander 
gleich sind, der von ihnen eingeschlossene 
Winkel in dem einen Dreieck aber dop 
pelt so grofs ist, als der in dem anderen 
Dreieck, so ist die Grundlinie des ersten 
Dreiecks nicht doppelt so grofs als die 
Grundlinie des zweiten Dreiecks. 
Eben so ist die Grundlinie des ersten 
Dreiecks nicht das 3, 4, 5,... «fache der 
Grundlinie des zweiten Dreiecks, wenn 
der ihr gegenüberliegende Winkel das 
3, 4, 5 ... «fache des der einfachen Grund 
linie gegenüberliegenden Winkels ist. 
3. Wenn in dem Dreieck ABC ¿_C 
— 2io, /_A — io 
also Z.BCA = 2^BAC 
so ist zwarBA> CB,allein BA nicht = 2BC. 
Denn halbirt man Z.BCA durch CE 
so ist AF = CE 
Nun ist Z-BEC =/_ECA-\-Z.EAC— 2ic 
und Z.BCE = w 
Folglich liegt in dem A BCE die Seite 
BC dem doppelten und die Seite BE 
dem einfachen Winkel gegenüber. 
Wäre nun BA = 2BC 
so wäre aus gleichem Grunde 
BC=2BE 
Man hätte also BA = 2BC 
BC=2BE 
folglich BC + ^BA = 2BC~+2BE 
oder BC + BE + AE = 2BC + 2BE 
oder A E = CE — BC + BE 
Mithin wäre in dem A CBE eine Seite 
leich der Summe der beiden anderen 
eiten, welches unmöglich ist. 
Es ist also unmöglich dafs AB — 2BC 
ist. Eben'so ist AB nicht das 3,4, 5... 
«fache von BC, wenn Z BCA das 3, 4, 5... 
«fache von ZBAC ist. 
Man kann also aus dem Verhältnifs 
der Seiten eines Dreiecks nicht auf das 
Verhältnifs der Winkel und aus dem Ver 
hältnifs der Winkel eines Dreiecks nicht 
auf das Verhältnifs der Seiten desselben 
schliefsen. Ueberhaupt kann man aus 
den Seiten nicht unmittelbar die Win 
kel und aus den Winkeln nicht unmit 
telbar die Seiten finden. Und dennoch 
ist es von Wichtigkeit diese beiden Auf 
gaben zu lösen. 
Es gehören also zu dem Vergleich 
zwischen Winkeln und Seiten eines Drei 
ecks vermittelnde Gröfsen, Gröfsen, 
die mit den Winkeln und zugleich mit 
den Seiten verglichen werden können, 
welche in der Elementargeometrie nicht 
Vorkommen und einer höheren Abtheilung 
der Geometrie, der Goniometrie oder 
der Trigonometrie Vorbehalten blei 
ben. Es sind dies die goniometri- 
schen oder trigonometrischen Li 
nien, die jetzt erklärt werden sollen. 
4. Es seien Fig. 669 die Linien CA, 
CD, CB als Radien eines Kreises gleich 
lang und in den Dreiecken ACD, DCB 
und ACB haben die Seiten AD, BD und 
AB einerlei Lage in Beziehung auf die 
ihnen gegenüberliegenden Winkel. Hätte 
man nun diese Sehnen bei einer be 
stimmten Länge des Radius z. B. der 
Längeneinheit = 1 für sämmtliche Win 
kel von Secunde zu Secunde berechnet, 
so wären diese Sehnen mit den Win 
keln unmittelbar verglichen-, sie sind aber 
als Linien auch mit den Seiten eines 
Dreiecks zu vergleichen, in welchen die 
zu ihnen gehörenden Centriwinkel als 
Umfangswinkel Vorkommen, und somit 
wäre die Vergleichung zwischen Winkeln 
und Seiten eines Dreiecks geschehen. 
Fig 670. 
Beispiel. Es sei in dem Dreieck 
ABC die Seite BC— 40 gegeben, ferner 
der ZABC- 65° 10', der ZACB = 54°50', 
so dafs auch der dritte ZBAC bekannt 
= 180° — (65° 10'+ 50° 50') = 60° ist. Man 
soll die Längen der Seiten AB und AC 
finden. 
Man zeichne an einer der beiden un 
bekannten Seiten z. B. an AB ein dem 
gegebenen A ABC congruentes A ABC', 
so dafs ZC'BA = ZCBA und ZC'AB = 
Z CAB, also Z CBC' = 2 Z CBA = 130° 20’ 
und Z CAC'= 2Z CAB — 120° ist. 
Ferner zeichne man aus A und B die 
Kreisbogen FG und DE mit der Längen 
einheit der Seite BC also mit AF- BD-1, 
ziehe die Sehnen FG und DE, welche 
berechnet und also bekannt sein 
sollen,