Goniometrie. 
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Goniometrie. 
so ist 
BD = 
BE, 
BC = 
BC’ 
eben so 
AF = 
AG, 
AC = 
AC 
Zieht 
man daher CC’ so 
ist 
diese mit 
DE und 
FG parallel. 
Es ist 
daher 
BD: 
BC = 
DE 
: CC’ 
oder 
1 
: 40 = 
DE 
: CC' 
folglich 
CC’- 
40 • 
DE 
Da nun auch 
AF: 
FG = 
/1C: 
CC 
oder 
1 : 
FG = 
AC 
: CC 
so ist auch 
CC' = 
AC 
• FG 
folglich 
CC’ = 
AC ■ 
FG - 
40 DE 
Die Sehne DE für den Centriwinkel 
130° 20' ist =1,8.15 
Die Sehne FG für den Centriwinkel 
120°= 1,732 
Mithin hat man ACx 1,732 = 40x 1,815 
woraus AC = 41,92 
Auf dieselbe Weise würde man die 
Länge der Seite AB finden, wenn man 
an AC ein dem A ABC congruentes Drei 
eck zeichnet. 
Die Linien CC', DE und FG werden 
von der Seite AB halbirt. Da nun halbe 
Linien wie die zugehörigen ganzen Linien 
sich verhalten, so hat man zur Berech 
nung der Seite AC nicht nöthig, das 
AAC’ß zu zeichnen; man darf nur von 
den Punkten D, C, F die Lothe DH, CI, 
FK auf AB fällen. 
Es ist dann BD : BC = DH : CL 
und 
mithin CL — 
AF : AC = FK : CL 
, bc^'Uäc 
DB AF 
oder 
also 
DH FK 
-y- X 40 = — 
AC 
DH = 0,9075 ; FK - 0,8660 
0,907 ° 40 = 41,92 
MC = „„ 
0,8660 
5. Die auf diese Weise construirten 
halben Sehnen sind nun wirklich 
für alle Winkel von Secunde zu 
Sec linde berechnet und tabella 
rischgeordnet. Sie haben den Namen 
Sinus (semissis halb, inscripta die Sehne, 
semissis inscripta wurde s. ins. abgekürzt 
geschrieben, woraus der Name Sinus ent 
standen ist.) 
Ist nun DB= 1, so heifst das Loth DH 
auf dem anderen Schenkel BH des Win 
kels der Sinus des Z_DBH und man 
schreibt DH = sin DBIi oder sin B. 
Da nun in dem rechtwinkligen Dreieck 
CBL BD : BC = DH : CL 
oder 1 : BC — sin B : CL 
so ist CL = BC • sin B 
und sin B = 
In jedem rechtwinkligen Drei- 
eckistalso derSinuseinesspitzen 
Winkels = dem Bruch, in welchem 
die demWinkel gegenüberliegende 
Cathete der Zähler und die Hy 
potenuse der Nenner ist. 
6. Dieser Sinus ist also einmal eine 
Linie, die in Beziehung auf einen belie 
bigen Winkel auf einerlei Weise constru- 
irt wird; nämlich als die dem Winkel 
gegenüberliegende Cathete eines recht 
winkligen Dreiecks oder was dasselbe ist, 
in Beziehung auf den Winkel als Cen 
triwinkel als das Loth von dem Endpunkt 
des einen Halbmessers auf den anderen, 
und in seiner Länge in Theilen, entwe 
der der Hypotenuse des rechtwinkligen 
Dreiecks oder des Halbmessers des Krei 
ses ausgedrückt. Der Sinus wird also 
als eine abstracte Zahl angegeben und 
ist zugleich die wirkliche Länge wenn 
Hypotenuse oder Halbmesser = 1 ge 
setzt wird. 
Die vielfachen Beziehungen zwischen 
Seiten und Winkeln in einer Figur ma 
chen es fast unmöglich, dafs diese ur 
sprüngliche trigonometrische Linie, der 
Sinus die einzige Vermittelung zwischen 
Seiten und Winkeln bleibe: es würden 
beschwerliche Rechnungen und compli- 
cirte Formeln nothwendig werden. 
7. Aus der Geometrie ist bekannt, dafs 
in einem Dreieck ABC (Fig. 670) 
AC 2 = BC 2 + AB 2 - 2AB ■ BL 
Nun ist aber 
BL = BC sin BCL = BC • sin y 
wo y der Complementswinkel von ¿CBA 
= x ist. Man kann daher die dritte Seite 
AC eines Dreiecks finden, wenn die bei 
den anderen Seiten AB, BC und der 
von ihnen eingeschlossene Z x gegeben 
sind, indem man den Sinus des zu x ge 
hörenden Complementswinkels in Rech 
nung bringt. Um für jeden einzelnen 
Fall nicht erst den Complementswinkel 
ausrechnen zu müssen, hat man ebenfalls 
diese Compleme nts - Sinu s (abge 
kürzt: Cosinus, cos) besonders berech 
net und tabellarisch geordnet. 
Es sei gegeben BC =10, AB = 12, 
Z* = 35° 10', so hat man 
AC 2 - 10 2 + 12 2 - 2 • 12 • 10 • cos 35° 10’ 
= 244 - 240 • 0,81748 = 45,8018 
und AC = ]/45,8048 = 6,77 
8. Es sei Fig. 671 im rechtwinkligen 
Dreieck ABC die Cathete AB — a und 
der ihr anliegende Z BAC = x gegeben, 
man soll die Cathete BC finden.