Goniometrie. 
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Goniometrie. 
Für den Z ACA (Fig. 437, pag. 80) = 0 
fällt der Sinus DE und die Tangente 
GA in den Punkt A\ beide werden =0. 
Die Secante CH fällt in CA und wird 
= 1, der Sinusversus AE fällt in den 
Punkt A und wird = 0. Der Cosinus DE 
oder CE wird = CA — 1. Die Cotangente 
nach derselben Richtung BH wird <», des 
gleichen die Cosecante CH in der Rich 
tung CA — oo und der Cosinus versus 
BF wird = BC = 1. 
Für den Z BCA — 90° fällt der Sinus 
DE in BC und ist = 1, die Tangente 
wird in derselben Richtung AG cc, die 
Secante CG fällt in die Richtung CB und 
wird oo, der Sinus versus AE erstreckt 
sich von A bis C und wird = 1. Der 
Cosinus DF fällt in den Punkt B und 
wird = 0, die Cotangente BII fällt in den 
Punkt B und wird = 0, die Cosecante 
CH fällt in CB und wird = 1, der Co 
sinus versus BF fällt in den Punkt B 
und wird = 0. 
Für den Z A'CA (wenn man Fig. 438 
den rechts in dem waagerechten Durch 
messer liegenden Endpunkt mit A' be 
zeichnet) = 180° fällt der Sinus DE in 
A’ und wird =0, die Tangente (— AG) 
fällt in den Punkt A und wird =0, die 
Secante (— CG) fällt in den Halbmesser 
CA und wird = — 1, der Sinus versus 
AE erstreckt sich von A bis A' und wird 
= + 2. Der Cosinus CE erstreckt sich 
von C bis A' und wird = — 1, die Co 
tangente (— BH) wird »o also = — oo, die 
Cosecante + CII fällt in die Richtung 
CA’ und wird oo, der Cosinus versus BF 
wächst bis C und wird =+ 1. 
Für den Z B'CA (Fig. 439) = 270°, wenn 
nämlich der unterste Endpunkt des loth- 
rechten Durchmessers mit B' bezeichnet 
wird, hat man den Sinus DE in CB' = - 1, 
die Tangente AG in derselben Richtung 
oo, die Secante - CG in der Richtung 
CB oo also = — oo , der Sinusversus AE 
in AC = +1. Der Cosinus — CE in dem 
Punkt C = — 0, die Cotangente BH in 
dem Punkt 71 = 0, die Cosecante — CH 
in der Länge CB = — 1 und der Cosinus 
versus BF in der Länge BB’ = 2. 
Für den Z ACA — 360° (Fig. 440) wird 
der Sinus (— DE) in dem Punkt A zu 
— 0, die Tangente — AG desgleichen in 
dem Punkt A zu —0, die Secante CG 
fällt in AC und wird = 1, der Sinus ver 
sus AE verschwindet in dem Punkt A 
zu 0. Der Cosinus CE wird der Halb 
messer CA = 1, die Cotangente — BH 
wird in derselben Richtung oo also = — oo, 
die Cosecante — CH fällt in die entge 
gengesetzte Richtung von CA und wird 
— oo, der Cosinus versus BF wird = BC 
= 1. 
Hiernach hat man folgende Zusammen 
stellung der Werthe. 
Für « = 
0 
90° 
180° 
270° 
360° 
Sinus 
+ 0 
+ 1 
+ 0 
- 1 
-0 
Tangente 
+ 0 
00 
-0 
-)- GO 
- 0 
Secante 
+ 1 
+ 00 
- 1 
— GO 
+ 1 
Sinus versus 
+ 0 
+ 1 
+ 2 
+ 1 
+ 0 
Cosinus 
+1 
+ 0 
- 1 
-0 
+ 1 
Cotangente 
—j - c© 
+ 0 
OO 
+ 0 
— 00 
Cosecante 
-f- OO 
+1 
+ « 
-1 
— 00 
Cosinus versus + 1 
+ 0 
+ 1 
+ 2 
+1 
12. Die zeichnungsweise Erklärung der 
trigonometrischen Linien ist durchaus 
unerläfslich. Eben so sind nur mit Hülfe 
der Anschauung von Figuren folgende 
Formeln zu entwickeln: 
Es ist Fig. 437: 
CD 2 = DE* + CE* 
oder 
1 = sin 2 « + cos *« 
(1) 
woraus 
sin « = ]/1 — cos 2 « 
(2) 
und 
cos a — ]/l — sin 2 « 
(3) 
Es ist ferner 
CG* = AC* + AG* 
oder 
sec = 1 -f tg *u 
(4) 
oder 
sec u— |/l -f- tg *u 
(5) 
oder 
tg « = \/sec *n — 1 
(6) 
Ferner 
CH* = CB 2 + BH* 
oder 
cosec *n — 1 + cot 2 a 
(7) 
oder 
cosec n = j/1 + cot 2 « 
(8) 
oder 
cot n = Ÿcosec 3 « — 1 
(9) 
Ferner 
CE : ED = CA : AG 
oder cos n : sin ct = 1 : lg n 
smn 
woraus tq n = (10) 
cos « 
Man kann noch folgende Proportion 
ansetzen: 
CF: DF — BC : BH 
oder sin n : cos n = 1 : cot a 
cos a 
woraus cotcc = — (11) 
sin « 
Ferner hat man 
CE : CA = CD : CG 
oder cos a : 1 = 1 : sec n 
woraus sec n = —— (12) 
cos n 
Endlich 
CF: CB = CD : CH