Goniometrie. 
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Goniometrie. 
oder sin a : 1 = 1: cosec « 
woraus cosec « = —— (13) 
sm « 
13. Die Haupt- oder Grundformeln für 
alle analytischen Entwickelungen sind die 
zur Bestimmung des Sinus und des Co 
sinus einer Summe und einer Differenz 
zweier Winkel durch die Sinus und Co 
sinus der einzelnen Winkel. Es sind 
diese 
tg 180° = 
sin 
180° _ 
0 
cos 
180° ~ 
II 
O 
o 
5* 
sin 
270° _ 
- 1 
cos 
270° ~ 
~0~ 
tg 360° = 
sin 
360° _ 
- 0_ 
cos 
360° ~ 
+T~ 
Eben so 
aus 
Formel 11. 
sin (a ± (?) — sin ix • cos ß±cos « • sin ß (14) 
cos (« ±ß) = cos a • cosß^ sin u • sinß (15) 
Aus diesem Grunde machen diese 4 
Formeln aus. Von denselben sind die 
beiden 
sin(« + /?) = sin« • cosß-\-cos c< • sinß (16) 
und 
cos (« + /?) = cos 11 • cos ß — sinn * sin ß (17) 
in dem Art. Conslructionen in No. 14, 
pag. 89 mit Fig. 454 bis Fig. 463 
und die Formeln 
sin(« —(?) = sin n • cos ß —cos «• sinß (18) 
cos(a — ß) = cos a • cosß -f sin a •sinß (19) 
in No. 15, pag. 93 mit Fig. 464 bis Fig. 
473 in allen nur möglichen Lagen der 
einzelnen Winkel synthelisch als richtig 
nachgewiesen. 
Die übrigen trigonometrischen Formeln 
sind gleichfalls synthetisch und mit mög 
lichst euklidischer Strenge in Form von 
Aufgaben als richtig dargethan; sie sol 
len darum hier noch analytisch entwickelt 
werden. 
14. Es läfst sich die Tabelle der Werthe 
aller trigonometrischen LinienNo.il aus 
den ad 12 aufgestellten Formeln analy 
tisch ableiten, wenn man nur die Werthe 
des Sinus und des Cosinus als bekannt 
annimmt. 
Setzt man in Formel 10 für Sinus und 
Cosinus die Werthe, so erhält man 
„ sin 0 0 
' cos 0 1 
tg 90° : 
sin 90° 
cos 90° 
cot 90° = 
cos 90° 0 
sin 90° 1 
. , Q „o cos 180° — 1 
cot 180 = — = = — oo 
cot 270° = 
cot 360° = 
sin 180° 0 
cos 270° — 0 
sin 270° ” - 1 
cos 360° + 1 
= 0 
sin 360° - 0 
Aus Formel 12 hat man 
sec 0 = •—- = -1=1 
cos 0 1 
sec 90° = 
cosec 0 = 
cos 90° 0 
sec 180° = ——» = —- = — 1 
cos 180° - 1 
sec 270° = s = -1 = - » 
cos 270° - 0 
sec 360° = i—= -1=1 
cos 360° 1 
Aus Formel 13 
1 1 
• —; = = OO 
stn 0 0 
cosec 90° = —-— = -l=i 
sin 90° 1 
cosec 180°= — = -1= oo 
sin 180° 0 
cosec 270°= ———— h = —1 = — 1 
sin 270° - 1 
cosec 360°= — 1 0 = -i- = — oo 
sm 360° - 0 
Der Sinus versus ist = 1 — cos, der 
Cosinus versus = 1 — sin, beide werden 
also für keinen Werth des Winkels ne 
gativ. 
/9 = 
sinv (0) ist = 1 — 1 =0 
sinv 90° =1 — 0 =1 
si nv 180° = 1 — (— 1) = 2 
sine 270° = 1 — (— 0) = 1 
sinv 360° =1-1 =0 
cosv (0°) =1—0 
cosv 90° =1—1 
cosv 180° =1—0 
cosv 270° = 1 — (- 
cosv 360° =1—0 
= 1 
= 0 
= 1 
1) = 2 
= 1 
15. Setzt man in Formel 16 und 17 hintereinander « = 90°, 180° und 270°, 
a, so hat man 
sin (90° -f n) — 1 • cos n 0 • sin n = cos n 
sin (180° -f «) = 0 • cos ci + (— 1) • sin « = — sin «