Goniometrie. 
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Goniometrie. 
B. Für « von incl. 90° bis incl. 360° ist 
cos ja — sin £« = — ]/l — siu a 
46. sin %ct — cos £a = ± |/l — sin« 
A. Für « von incl. 0 bis incl. 90° ist 
sin %ct — cos £« = — j/l — sin a 
B. Für «von incl. 90° bis incl. 360° ist 
sin jß — cos £« = + \1 — sin « 
47. sin 4a = ± 4 [j/l-j-sin« — j/l — sin«] 
A. Für « von incl. 0 bis incl. 90° ist 
sin 4« = + 4 [j/l +sin « — "j/l — sin « J 
B. Für « von incl. 90° bis incl. 270° 
ist die Formel nicht anwendbar 
C. Für « von incl. 270° bis incl. 360° ist 
sin 4« = — 4 [j/l-f sin« — j/l— sin«] 
48. sin 4« = + 4 [j/l + sin « + j/l — sin «] 
Diese Formel gilt nur für a von incl. 
90° bis incl. 270 . 
49. cos a« = + i [|/l + sin « — |/l — sin «] 
Diese Formel gilt nur für « von incl. 
90° bis incl. 270°. 
50. cos |« = ± (j/l-f sin« +l/l — sin«) 
A. Für a von incl. 0 bis incl. 90° ist 
cos J« = -f (j/l + sin « + j/i — sin «) 
B. Für « von incl. 270° bis incl. 360° ist 
cos 4« = — (|/1 + sin n + j/l — sin «) 
Fiir « von incl. 90° bis incl. 270° ist 
die Formel ungültig. 
51. sin «*sin ß=\ [cos (« — ß) — cos (a -j- /9)] 
52. cos «• cos ß = \ [ cos (a -f ß) cos (« — /3)] 
53. sin ct'cosß = | [sin(a-Fß)-|-sin(ß —/3)] 
54. cos «• sinß = ^ [sin(« + /S) —sin(« — /?)] 
„ „ . cc + ß . tt — ß 
55. sin—— * sin—— =$(cos ß — cosa) 
2 2 
56. cos ■ cos ^ ^ (cos a -f cos ß) 
2 2 
57. sin • cos $ (sin etsin ß) 
2 2 
58. cos • sin i (sinet — sinß) 
2 2 
59. 
60. 
61. 
62. 
63. 
64. 
65. 
66. 
67. 
68. 
69. 
70. 
71. 
72. 
73. 
tg Ci + tg ß 
l - tg a • tg ß 
tg « - tg ß 
1 + tg ct. tg ß 
cot « • cot /3—1 
cot « + cot ß 
cot a • cot ß -f 1 
cot ß — cot a 
sin (« -f ß) 
cos « • cos ß 
sin (« — ß) 
cos K • cos ß 
sin (a + /3) 
sin « • sin /3 
sin (« — /3) 
sin a • sin /3 
sin 2 « — sin 2 /3 
sin (« — ß) 
cos 2 /3 — cos 2 « 
sin (« — /3) 
. _ cos 2 ß — sin 2 « 
cos (« + ß) = tL. 
COS (ß — ß) 
. , . cos *a — sin 2 /3 
cos (« -f ß) = ■ r 
tg (« + ß) = 
(«-/*) = 
coi (a -f /3) = 
coi (« — /3) = 
tg « + tg ß = 
tg a-tg /3 = 
coi « -f coi /3 = 
cot ß — cot « = 
sin (« -j- /3) = 
sin (« + /3) = 
tg 
tg 
COS (ß — ß) 
sin ß -f sin ß 
cos « -j- cos ß 
COS ß — COS ß 
sin ß — sin ß 
« — /3 _ sin ß — sin /3 
«+/3 
<5 
2 cos « -f cos ß 
ß —/3 _ cos /3 — cos ß 
2 sin /3 + sin a 
75. sin 3a = 3 sin « — 4 sin 3 a 
76. cos 3« = 4 cos 3 « — 3 cos a 
21. Sind die Winkel « + ß + y = 2 Rech 
ten, so ergeben sich mehrere interessante 
Gesetze, von denen folgende sechs die 
vorzüglichsten sind. 
I. 2. sin ß • sin /3 • sin y = sin a • cos a + sin /3 • cos /3 -j- sin y • cos y 
Analytischer Beweis. 
Formel 16 ist sin (a + ß) = sin « • cos /3 -f cos « • sin /3 
hierzu sin « • sin /3 = sin a • sin /3 
gibt sin « • sin /3 • sin (« +/3) = sin 2 a • sin /3 • cos ß -f sin 2 /3 • sin « • cos a 
= sin /3 • cos /3(1— cos 2 «) -f sin « • cos «(l — cos 2 ß) 
— sin C/-C0S «4-sinß'COS ß—COS CCCOS ß (sin Cf COS ß-\-COS Cfsinß) 
und mit Hülfe von Formel 16: 
sin « • Sinß • sin(a-\-ß) = sin «• cos c<-\-sinß • cosß — cos «• cosß • sin (« + /3) 
hierzu sin« • sin/3-sin(«+/3) = siw ß -sin/3 • sin(a-j-/3) 
gibt 2-sin« • sin ß-sin (ct-j-ß) = sin ct • cos ct-\-sinß-cosß—sin(a + ß)[cos (ocosß—sin«• sinß] 
also nach Formel 18: = sin« • cos «-j-sin/3» cos/3 —sin(«-j-/3) • cos(«-j-/S)