Goniometrie. 215 
Goniometrie. 
gibt 
, Г . « « , ß 
sin a -f sm ß -f sin у — 4 I sin —•co~ 
, « ß 
—4 cos —• cos — 
? COS 2 у -p*i» COS • COS 
/ . « ß а . ß\ 
I sm —• cos — + cos y sin —I 
« ß . a+ß 
= 4cos • cos—’Sin—— 
2 2 2 
. .. , J / лл „ «+A 180°-(a+ß) у 
Nun ist Sin —— = cos ^90 у ) - cos cos — 
a+ß 
• . « ß у 
daher hat man sinci-\-sinß4-siny=4cos—" c os—" c °s — 
Synthetischer Beweis. Man zeichne 
Fig. 673, um einen Punkt C die Z« = 
A CF, ß — FC В und у = ВСЕ neben ein 
ander, so liegen die beiden äufseren Schen 
kel AC und EC in einer geraden Linie. 
Beschreibe nun aus C mit dem Halb 
messer = 1 den Kreis AFBEA, verlän 
gere FC bis in die Peripherie, verbinde 
A, В und D durch Sehnen, so entsteht 
das Dreieck ABD-, in diesem ist /_ADF 
=4/_ACF= y, Z BDF= k Z BCF = Aß, 
673. 
daher Z ADB= eben so ist ZFAD 
= und z ABD= ß -±? 
Fällt man nun die Lothe CJ auf AD, 
CU auf BD und CG uni AB, so hat man 
2A ABD - AD ■ CJ + BD - C1I + AB-CG 
, AD-BD-AB 
aber es ist auch 2A ABI) — 
2 AC 
AD-BDAB 
2 AC 
daher ist 
AD-CJ+ BD• CU+AB CG = 
Nun ist 
AD = DF• cos ADF 
Eben so 
BD = DF- cos BDF = 2DC• cos ^-=2cos 
und 
AB =■ AE • cos В AE = 2AC • cos ^-=2 cos^- 
2DC-cos—-2cos — 
Ferner ist CJ - 
DC" sin CDJ=sin — 
и 
CH = DC • sin CDU =síh-L 
и 
und CG = AC• sin CAG = sin у 
daher hat man 
« « ß . ß у 
2 cos— •sin — +2cos — "sm — -\-2cos — -sw-r = 
2 2 2 2 2 2 
oder 
2 cos — 
у Jj 
• 2cos• 2cos ~- 
¿ 2 
. a ct 3 ß . у У 
2sm —• cos b 2sin — •cos — -f 2 sm—• cos — — 
2 2 2 2 2 
n ß у 
2 =4cosy.cosy.cosy 
Nun ist Bd. II., pag. 96, No. 16 mit . . . a . . a ß Y 
Formel V. synthetisch bewiesen, dafs sina ^ stH ß^ su ) 2 2 2 
2 sin a • cos ß = sin 2a, daher ist auch HI. tg a-\-tg ßA’ t 9Y = tg« • tgß • tg y 
ß ß o Analytischer Beweis. Da wieder 
’cos 2 p y=180°— (a+/S) so ist tg y— i<7 [180°—(ß+/S)]; 
daher nach N0. 16 tg y = — lg (a + ß) 
tga+tgß 
2 sin — • cos — — sin a, 2sin- 
2 2 ’2 
_ . у у 
und 2 sm у • cos y = sin у 
Folglich hat man 
also nach Formel bd tg у=— 
l-tga"tgß