Goniometrie. 
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Goniometrie. 
daher 
tg « + tgßAtgy=tga + tg ß - 
lg a + tg ß 
lg ct + tg ß 
1 -ig a' tgß 
-tgcf Igß(tgn+ tgß) 
tgcc-tgß 
■ -iß «-igß 
l -tg«-tgß 
tga + lgß 
oder 
1 — tga-tgß 
- — tg « • l g ß • ig (« + ß) 
= + tg«-tgß-tg [180° - («+/*)] 
tg « + tg ß + tg y - tg a - tg ß - tg y 
Synthetischer Beweis. Es sei 
Fig. 674 im AABC der ZA=«, Z.B-ß 
und Z C=y. 
Fälle die 3 Höhen Aa, Bb und Cc, die 
sich nach geometrischen Lehren in einerlei 
Punkt durchschneiden, 
Fig. 674. 
so hat man Bc‘ i = Bc(AB—Ac) 
oder Bc 2 = Bc - AB — Bc-Ac 
Nun ist nach geometrischen Lehren 
AB-Bc-BC-Ba 
daher auch Bc 2 = BC • ßa — Bc - Ac 
dies von BC 2 = BC‘ i 
bleibÄTWC^lic^BC 2 -BC-Ba + Bc - Ac 
oder Cc 2 =BC(BC -/?«) + Bc-Ac 
oder I- Cc 2 =BC-Ca +Bc-Ac 
Nun ist 
/ /BcC=R = ZBaA 
hierzu Z.R — Z.H 
daher II. ¿±Aßc<x>&BAa 
woher Bc : Cc = Ba: Aa 
mithin Aa — Cc- 
Bc 
dies multiplicirt mit 
Bb=Bb 
und mit I. Cc a = BC- Ca-\-Bc- Ac 
gibt Aa - Bb - Cc 2 = {BC -Ca+Bc - Ac) Bb - Cc • „ 
Bc 
i • . ttt . r>L n BC • Ba - Bb - Ca 
also ist III. Aa - Bb • Cc= p Ac - Ba - Bb 
Bc 
Aus II. folgt: BC :ßc= AB: Ba — 
,, ., BC-Ba 
daher ist ———=AB=Ac + Bc 
BC 
Man hat also, dies mit III. verbunden: 
Aa - Bb • Cc = (Ac + Bc) Bb - Ca -f- Ac • Ba - Bb 
oder IV. Aa - Bb - Cc - Ac • Bb - Ca + Bb - Bc - Ca -f Ac - Ba - Bb 
wie für II. hat und der 3te Summand in IV. 
Aus gleichen Gründen 
man ferner 
A ABb<x>& ACc 
woher Ab-.Bb = Ac:Cc 
oder Ac - Bb- Ab • Cc 
mithin ist der lte Summand in IV. 
Ac - Bb - Ca —Ab -Ca-Cc 
Ac - Ba • Bb = Ab • Ba • Cc 
Aus der nach II. erhaltenen Proportion 
Bc: Cc= Ba: Aa 
hat man Ba - Cc = Aa - Bc 
daher entsteht aus dem 3ten Summanden 
Ab • Ba - Cc—Aa - Ab • Bc 
Diese 2 Werthe in IV. gesetzt, entsteht 
Aa - Bb - Cc = Ab - Ca - Cc + Bb - Bc - Ca + Aa - Ab - Bc 
Diese Gleichung durch Ca - Ab - Bc dividirt 
Aa Bb Cc Cc Bb Aa 
Ca Ab Bc Bc d Ab ^ Ca 
tg y • tg a - lg ß = tg ß lg C( + lg y 
gibt 
oder