Goniometrie. 
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Goniometrie. 
Nun ist nach geometrischen Lehren 
A ABC— 1 \\A B + ÄC+ BC)(AB + AC-BC) (AB+BC - AC)(A C+BC- AB) 
Eben so ist /\ABC=$AB-cP+$AC-bP+iBC'aP=aP- 
Daher hat man 
aP - =\l/(AB+AC+BC)(AB+AC-BC)(AB+BC-AC)(AC+BC-AB) 
folglich 
(aP) 3 .(AB+AC+BC) 3 
———~—-—- = A № + AC+BC) (AB+A C-BC) (AB+BC- AC) (AC+BC-AB) 
Diese Gleichung dividirt durch -p- (AB + AC + BC) gibt 
AB + AC+BC AB+AC-BC AB + BC-AC AC+BC-AB 
2 aP 2aP 2 aP * 2 aP 
Nun ist AB = Ac + Bc=Ab + Bc 
AC=Ab+Cb = Ab+Ca 
BC = Ca -f- Ba — Ca + Bc 
daher ist + ^9 - Ab 
AB+BC-AC 
- Bc 
AC+BC-AB 
= Ca 
und 
AB+AC+BC 
—Ab + Bc + Ca 
Daher hat man diese Werthe in die 
letzte Gleichung gesetzt 
Ab + Bc + Ca Ab Bc Ca 
aP aP aP aP 
. Ab Bc Ca Ab Bc Ca 
oder 4> + 
also mit Hülfe der Figur cot--+cot~ + cot ~ =cot —»cot 
.. ,«,(?, « y ß y 
V. tg — -t9T + '9 o- • t 9 I r>- + t9~‘tß~ = l 
2 2 1 2 
Analytischer Beweis. 
Es ist lg = t,j 180 = lg ^9o°_ = col 
« + ß 
also nach Formel 61 
daher ist 
cui — • coi — 1 
COt -7T + cot +r 
2 2 
*» 1 • ‘ 3 i + » T • * T = (» 1 + 'S t) 
« ß 
cot —.cot—- 1 
« /? 
coi — 4-coi — 
2 2 
. « « /3, « ß ß ( a ß\ 
y * COi — . COi y + COt — - tyy -coty-^y + ^y) 
IJ 
cot — + cot+- 
2 2 
und da nun wieder lg • cot — =1 = lg • cot — 
ß , a / a ß\ « /5 
_ coi Y +cot T~\ 9 Y + l,J 2) 19 Y +l9 T 
=i- 
daher 
cot — + coi — 
2 2 
coi-d-coi-^-