Goniometrie. 
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Goniometrie. 
+(? "• ig ^+*9 4-*9t = 1 +^ 
a I . ß 
tyir+tg-z- 
ß 
cot — b cot 2 
= 1 + 
« £ , « /S ,5 
C0, -9* , *T + , S , T ,, *T* C0| T 
(^4+^4) 
cot — + cot -— 
2 2 
ß , « / « , £ \ 
= t l >T +,i 'T~( li 'T' f ^y) 
= 1 
oder tg 
• tq — 4- to —• 
2 J 2 J 2 J 2 
Synthetischer Beweis. Für Fig. 675 hat man nach dem vorigen Satz 
! (Aß + AC+ßC) 2 = r V(Aß+/lC+ßC)(.4ß+AC-ßC)(Aß+ßC-AC)(AC+ßC-AP) 
cot — 4- cot 
(«G 
mithin 4 (aß) 2 (Aß+ AC+ BC) = (A ß+ AC - ßC)(Aß+ BC- AC)(AC+ BC-AB) 
. ,, „s 2 • Aß + AC+ßC =1 
und 4^ ) m ^ AB+ÄC _ BCi ^ ÄB+ B C -AC)UC+BC-AC) 
Nun ist Aß+AC+ßC=2Aß-Aß+2AC-AC+2ßC-ßC 
= {AB + AC-BC)+{AB+BC- AC)+(AC + BC- AB) 
(Ultet ist iar (AB + AC _ ßC) . ( A B+BC-AC).(AC+BC-AB) 
Nun ist nach IV. ebenfalls —~~ = Ab, daher AB -f AC - BC = 2.46 
eben so AB + BC— AC = 2Bc, und ylC + PC —/4C=2 Ca 
daher ist 
2Ai+2ßC+2CA 
i(l ' 2 Ab • 2 ßc - 2 Ca 
oder 
flP 2 Ai + fic + Ca 
Ai • ßc. Ca 
oder 
a m, ^ t a m , 
Ab-Bc-Ca^ Ul Ab-Bc-Ca 
oder 
aß 2 aP 2 aß 2 
Bc • Ca ^ Ai* Ca Ai • ßc 
Ca_ 
Ab-Bc-Ca 
= 1 
Nun ist aP=bP=cP, Bc = Ba, Ca = Cb, Ab = Ac 
, , . . aP aP bP bP cP cP 
daher hat man — • ?r +- T ;* 7i 7 + T -*-5- = l 
Ba Ca Ab Cb Ac Bc 
oder mit Hülfe der Figur tg 
ß 
ty-ir+ty 
y . « 
fcf +, *T 
also nach Formel 61 coly—- 
2 '» 2 ' 2 
VI. cot cc • cot /S -f cot « • cot y + cot ß • cot y = 1 
Analytischer Beweis. Es ist cot y=cot [180°-(« + /9)] = —cot(a-|-/9) 
cota • colß—1 _ 1— cot <x'cot ß 
cot a-{-cot ß cola-\-cot ß 
. . , 1 — cot«• cot ß 
daher ist cot «• cot^-fcot/S* coty:=(cot «-(-col/9) • —= 1 — cot«• cot/? 
folglich cot et - cot ß-\-cot (<• cotycot ß * coty=1 
Synthetischer Beweis. Für Fig. 674 hat man 
BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2/lß • Ac 
Aß 2 +AC 2 -ßC 2 
Ac = 
2 AB 
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