Grenze.
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Gröfse.
sich einschränken, bis zu welchem sie
entweder wachsen oder abnehmen kann:
Ein in einen Kreis beschriebenes regel-
mäfsiges Vieleck wird mit der Vermeh
rung der Seitenzahl an Inhalt und Um
fang immer gröiser, dagegen bildet der
Umfang des Kreises die Grenze des Wachs
thums, die Gröfsen der Kreislinie und der
Kreisfläche sind die Grenzwerthe fin
den Umfang und den Inhalt des mög
lich gröfsten Vielecks.
Ein um einen Kreis beschriebenes re-
gelmäfsiges Vieleck wird mit der Ver
mehrung der Seitenanzahl an Umfang
und Inhalt immer geringer, dagegen bil
det die Kreislinie die Grenze der Ab
nahme und die Gröfsen der Kreislinie
und der Kreisebene sind die Grenz
werthe für den Umfang und den Inhalt
des möglich kleinsten Vielecks.
Bei einer zunehmenden arithmetischen
oder geometrischen Reihe ist die Grenze
das unendlich grofse Glied, der Grenz -
werth des letzten Gliedes und der Summe
der Reihe ist =o.
Bei einer abnehmenden arithmetischen
Reihe ist die Grenze das negativ un
endlich grofse Glied, bei einer abnehmen
den geometrischen Reihe ist die Grenze
0. Der Grenzwerth des letzten Glie
des = 0, der der Summe der Reihe eine
bestimmte in einer Formel gegebene Zahl
(s. geometrische Reihe).
Grenze eines Verhältnisses,
Grenzverhältnifs zweier veränderli
chen Gröfsen ist dasjenige Verhältnifs,
dem sich mit dem Wachsthum oder der
Abnahme der Gröfsen deren Verhältnifs
immer mehr nähert. Es ist dies jedes
mal das Differenzialverhältnifs, der Diffe
renzialquotient. Z. B. Es sei
ay — bx = c
so ist a 9w — b bx = 0
9 y b
woraus <zr- =
öx a
Man erhält dies elementar, wenn man
die Gleichung durch ax dividirt, dann
entsteht
x a ax
Man kann also mit beliebigem Wachs
thum von x und in dem durch die Glei
chung gegebenen Verhältnifs von y den
Quotient — oder das Verhältnifs von
x
y:x dem Verhältnifs b\ct beliebig nahe
bringen und demnach ist — das
verhältnifs von y : x.
III.
Grenzverhältnifs, s. u. Grenze und
Analysis.
Grenzwerth, s. u. Grenze und Ana
lysis.
Grenzwinkel (Dioptr.) s. Ablenkung
des Lichtstrahls 1, am Schlufs.
Gröfse wird vielfach erklärt als Dasje
nige, welches sich vermehren und ver
mindern läfst. Gröfse ist also ein Viel
faches, das aus mehreren Theilen zu
sammengesetzt ist. Man unterscheidet
Gröfse als Quantum und Gröfse als Quan
titas. Quantum ist Gröfse an sich, Quan
titas ist die Gröfse des Quantums, die
Menge der Theile, aus denen das Quan
tum zusammengesetzt ist.
Man unterscheidet forner zwei Haupt
klassen von Gröfsen: 1, die zusam
menhängenden, stetigen, fliefsen-
den, continuirlichen Gröfsen, die
Gröfsen im Raum, deren einzelne
Theile ununterbrochen zusammenhangen,
in einander fliefsen und 2, die nicht
zusammenhängenden, unterbro
chenen, discreten, collectiven
Gröfsen, die zählbaren Gröfsen,
die Vielheiten in gegebener Anzahl be
stimmter Einheiten.
Die ersteren sind die geometrischen
Gröfsen, die letzteren die arithme
tischen Gröfsen.
Mit diesen Gröfsen nun beschäftigt sich
die Mathematik, die arithmetischen Grö
fsen vergleicht sie in der Anzahl ihrer
Einheiten, die geometrischen in ihrer Aus
dehnung, Form und Lage.
Was mit einander verglichen werden soll
mufs gleichartig sein, d. h. es mufs zu
einem Ganzen zusammengefafst, addirt
werden können, Linien sind mit Flächen
nicht zu vergleichen. Ans diesem Grunde
mufs jede Gröfse aus lauter gleichartigen
Theilen zusammengesetzt sein. Gleich
artige arithmetische Gröfsen heifsen com-
mensurabel (s. d.) ungleichartige in-
commensurabel. Letztere haben keine
gemeinschaftliche Einheit, von welcher
beide Vielheiten sind, z. B. 3 und \2.
Brüche von ungleichen Nennern sind in-
commensurabel, weil sie nicht mit ein
ander zu einem einzigen Bruch addirt
werden können, sie werden aber com-
mensurabel dadurch, dafs man ihnen einen
gemeinschaftlichen Nenner verschafft.
Brüche mit ungleichen Nennern sind also
nur der Form nach incommensurabel.
Die Zahlen 4 und ]/2 sind incommensu
rabel, denn wenngleich 4 = |/16 = ]/8 • p2
und beide Zahlen die gleiche Eiuheit ]/2
haben, so sind doch in der Summe 4-f }'2
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