Gröfstes. 
227 
Gröfstes. 
15* 
von welchen 1 Minimum und 1 Maximum 
absolut ist. 
Trägt man die berechneten Werthe der 
gegebenen Gleichung auf (s. Construction 
der Werthe einer Gleichung mit Fig. 502 
bis 505), so ersieht man, dafs wenn man 
von den absoluten Gröfsten + oo und 
Kleinsten — oo, die bei jedem Aggregat 
mit ganzen Potenzen der Unbekannten 
Vorkommen, nur ein Gröfstes und ein 
Kleinstes existirt und dafs hier eine Ein 
schränkung durch Grenzen für die Ab- 
scisse nicht statt findet. 
Fig. 678. 
Folgende Function von x 
X = x i + ‘¿x* - 10a: 2 — 10 
auf Vorhandensein von Gröfsten und 
Kleinsten [nach dem Art. Differenzial 
rechnung III., No. 4, 5, pag. 300, nebst 
Beispielen] untersucht: gibt 
dX = 4a: 3 -)- 9a: 2 — 10a: = 0 
Es ist mithin für x = 0 die Function 
X ein 31?, entweder ein Maximum oder 
ein Minimum. 
Dividirfc man 8X durch x, so hat man 
4a: 2 + 9a-~ 10=0 
und geordnet 
x 2 + £ x — 5 = 0 
woraus 
Zwei andere Werthe von x, für welche 
X ein 311 wird. 
Um zu erfahren, welches 9)! für jeden 
der 3 Werthe, ob ein Gröfstes oder ein 
Kleinstes entsteht, setze die 3 gefunde 
nen Werthe in 
Ö 2 Ä'= 12a: 2 + 18a:- 10 
so eutsteht 
für x = 0; 9 2 X = 10 
für x = - 3,628 ; d 2 X = + 6,07 
für * = + 1,378; d 2 X= + 15,311 
Für x = 0 ensteht also ein Maximum 
und für die beiden anderen Werthe je 
desmal ein Minimum. 
Man findet durch Rechnung als Probe 
für dies gefundene Resultat: 
Für x = + 0,1; X = — 10,0969 
a: = 0 ; X = - 10,0000 
a: = — 0,1; X = - 10,1029 
Ferner 
Für 
X — 
— 
3; 
X = 
— 
100 
X — 
- 
3,628 ; 
X = 
— 
111,6347 
X — 
— 
4; 
x= 
— 
106 
Endlich 
Für 
X = 
+ 
1,36; 
x= 
- 
16,529 
X — 
+ 
1,378; 
x= 
- 
17,586 
X = 
+ 
1,40; 
x= 
- 
17,526 
Aufserdem 
findet 
man 
F ür 
X — 
+ 
co ; 
X = 
+ 
OO 
X = 
+ 
4; 
X = 
+ 
378 
X = 
+ 
3; 
X = 
+ 
62 
X = 
+ 
2; 
X = 
- 
10 
X — 
+ 
1; 
x = 
- 
16 
X = 
0 
x = 
- 
10 
X — 
— 
2; 
X = 
— 
22 
x = 
- 
5; 
x= 
— 
10 
x = 
- 
6; 
X = 
+ 
178 
Es liegt also eine Wurzel der Function 
X — 0 für x zwischen + 2 und + 3 und 
für x zwischen — 5 und — 6. 
Trägt man die Gleichung auf, so er 
sieht man zugleich, dafs bei x — 0 die 
Abscisse nicht geschnitten wird, die Curve 
aber dort einen Wendepunkt hat, woher 
dort 2 imaginaire Wurzeln sich befinden, 
welche X = 0 machen. 
Fig. 679.